Предел

[bayah]

Привет, математика.
$\lim\limits_{x\to\pi/2}\Big(\dfrac{1}{\cos x}-\mathop{\mathrm{\tg}}x\Big)\Big(\dfrac{\pi}{2}-x\Big)^{-1}$

Кажется тут должно сводиться к первому замечательному пределу, но не факт, а у меня какие-то неопределенности только получаются.
Подскажите как нибудь?

-------------------------------------------------------------------------
Благодарю demolishka за подсказку:
$1-\sin x=2\sin^2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)$
-------------------------------------------------------------------------

Хотел написать как опять не получается, но пока писал, получилось вроде:
$\lim\limits_{x\to\pi/2}\Big(\dfrac{1}{\cos x}-\mathop{\mathrm{\tg}}x\Big)\Big(\dfrac{\pi}{2}-x\Big)^{-1} = \lim\limits_{x\to\pi/2}\Big(\dfrac{1 - \sin x}{\cos x}\Big)\Big(\dfrac{1}{2\Big(\dfrac \pi 4 - \dfrac x 2\Big)}\Big) = \lim\limits_{x\to\pi/2}\Big(\dfrac{2\sin^2 \Big({\dfrac \pi 4 - \dfrac x 2}\Big)}{2 \Big(\dfrac \pi 4 - \dfrac x 2\Big) \cos x }\Big)$
Далее сделаем такую замену:
$y = \dfrac \pi 4 - \dfrac x 2$, откуда $x = \dfrac \pi 2 - 2y$
$y \to 0$ при $x \to \dfrac \pi 2$
Получим:
$\lim\limits_{y\to 0} \dfrac {\sin y}{y} \dfrac {\sin y}{\cos\Big({\dfrac \pi 2 - 2y}\Big)} = \lim\limits_{y\to 0} \dfrac {\sin y}{y} \dfrac {\sin y}{\sin (2y)} = \lim\limits_{y\to 0} \dfrac {\sin y}{y} \dfrac {\sin y}{2\sin (y) \cos (y)} = \\ \dfrac 1 2 \lim\limits_{y\to 0} \dfrac {\sin y}{y} \cdot \lim\limits_{y\to 0} \dfrac {1}{\cos y} = \dfrac 1 2$

Итак: предел равен $\dfrac 1 2$, верно?

[demolishka]

$1-\sin x=2\sin^2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)$

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют содержательные попытки решения.


Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Brukvalub]

bayah в сообщении #1165457 писал(а):

Итак: предел равен $\dfrac 1 2$, верно?

Да.

[bayah]

demolishka в сообщении #1165461 писал(а):

$1-\sin x=2\sin^2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)$

Brukvalub в сообщении #1167118 писал(а):

Да.

Всем спасибо)