Требуется найти квадрат L2 нормы

решения уравнения

при условии, что:
1.

- периодическая функция
2.

- решение в установившемся режиме
3. Квадрат нормы нужно вычислить избегая решения уравнения в явном виде
Задачка вроде бы простая, но ставит в тупик. Подскажите, кто что может посоветовать?
Тривиальным подходом является использование рядов Фурье.
Решение будет таким:

Однако это требует во-первых использование преобразования Фурье, а во-вторых вычисление бесконечной суммы ряда.
Хочется понять, есть ли более элегантное решение.
Например, с однородным дифференциальным уравнением все очень элегантно. Умножая уравнение на искомую функцию и интегрируя по

получим:




В итоге получаем

С неоднородным уравнением такой подход дает только одно уравнение, а именно, возводя в квадрат обе части уравнения и интегрируя по

, получим:

Причем скалярное произведение

, т.к.

- периодическая функция. В итоге имеем прямоугольный треугольник, воплощенный в теореме Пифагора:

что также напоминает нам о том, что вектора

и

в пространстве

ортогональны
Но этого не достаточно для решения задачи. Она не решена.