Задачи по теории вероятностей

[uller]

Цитата:

Про представление распределения в виде квадрата не говорят.

Извиняюсь, тут я неправильно выразился . Я имел ввиду вот что: если решать через геометрическую вероятность, то х и у можно рассмотреть как координаты точки, взятой наугад из квадрата площадью а.

Да, а влияет на уравнения для плотности распределения, но:

функция распределения для х-у у меня получилась такая (z=x-y):

$ \left\{ \begin{array}{l} 0 , a \leqslant z \leqslant \infty \\ \frac {z^2} {2}, 0 \leqslant z \leqslant a \\ a^2 - \frac {(2a-z)^2}{2}, -a \leqslant z \leqslant 0 \\ 1, -\infty \leqslant z \leqslant 0 \\ \end{array} \right. $

Значение а = 2, если его подставить и взять производные, то получается ерунда для плотности распределения. Где ошибки в уравнениях?

[Henrylee]

uller писал(а):

функция распределения для х-у у меня получилась такая (z=x-y):

$ \left\{ \begin{array}{l} 0 , a \leqslant z \leqslant \infty \\ \frac {z^2} {2}, 0 \leqslant z \leqslant a \\ a^2 - \frac {(2a-z)^2}{2}, -a \leqslant z \leqslant 0 \\ 1, -\infty \leqslant z \leqslant 0 \\ \end{array} \right. $

Ну во-первых, если намеки были непонятны, то вы где-то и что-то забываете разделить на $a^2$. Во-вторых, Вам не кажется странным, что Ваша "функция распределения" не является неубывающей, а в некоторых точках вообще может принимать значения больше 1 (при определенных $a$)?

Добавлено спустя 1 минуту 4 секунды:

Если еще не надоело, давайте по шагам, как Вы вычисляете ф.р.

[uller]

Цитата:

Вам не кажется странным, что Ваша "функция распределения" не является неубывающей

Кажется я неправильно переписал, то был мой первый результат, потом пересчитал и вот что получилось:
$ \left\{ \begin{array}{l} 1, a \leqslant z \leqslant \infty\\ a^2-\frac{(2a-z)^2}{2}, 0 \leqslant z \leqslant a\\ \frac {z^2}{2}, -a\leqslant z \leqslant 0 \\ 0. -\infty \leqslant z \leqslant -a \end{array} \right. $

Я рассуждал так:

Ha [a;\infty] прямая у= x - z отсекает от квадрата собственно весь квадрат, поэтому F(z) = 1.
На [0;a] прямая отсекает от квадрата пятиугольник, площадь которого равна площадь квадрата минус площадь треугольника, который не отсекается, т.е. то, что получилось во втором уравнении системы.
На [-a;0] Прямая отсекает от квадрата прямоугольный треугольник со стороной z,
получил 3-е уравнение.
И на [-\infty;-a] прямая ничего не отсекает, поэтому F(z) = 0

[Henrylee]

uller писал(а):

Цитата:

Вам не кажется странным, что Ваша "функция распределения" не является неубывающей

Кажется я неправильно переписал, то был мой первый результат, потом пересчитал и вот что получилось:
$ \left\{ \begin{array}{l} 1, a \leqslant z \leqslant \infty\\ a^2-\frac{(2a-z)^2}{2}, 0 \leqslant z \leqslant a\\ \frac {z^2}{2}, -a\leqslant z \leqslant 0 \\ 0. -\infty \leqslant z \leqslant -a \end{array} \right. $

По-моему, Вы совершенно не думали, когда это писали. Ощущение такое, что Вы просто подогнали ответ под нечто похоже, да и подогнали-то неправильно.
Ваша ф.р. опть убывет на отрезке $[-a,0]$. А в правой полуокрестности нуля она и подавно отрицательная В принципе на этом можно было бы и остановиться, но так и быть, попробую еще раз.

uller писал(а):

Я рассуждал так:

Ha [a;\infty] прямая у= x - z отсекает от квадрата собственно весь квадрат, поэтому F(z) = 1.

Это верно.

uller писал(а):

На [0;a] прямая отсекает от квадрата пятиугольник, площадь которого равна площадь квадрата минус площадь треугольника, который не отсекается, т.е. то, что получилось во втором уравнении системы.

Опять двадцать пять за рыбу деньги! (с) Стругацкие
Ну склько можно одни и те же ошибки лепить. Во-первых, с чего Вы взяли, что вероятность равна какой-то площади? В первой строчке Вы же не пишете, что вероятность попадания в целый квадрат равна $a^2$. Вы пишите единицу. Во-вторых, площадь маленького треугольничка записана неверно.

[uller]

Я понял, у меня совсем с Тервером крыша поехала .
Как Вы и сказали, я забыл разделить на a^2, вероятность ведь отношение площадей отсеченной к полной =) Так, пойду еще раз решать =)

[uller]

Для функции распределения у меня получилось (при а =2):
$ \left\{ \begin{array}{l} 1, 2\leqslant z\leqslant \infty\\ 1-\frac{(2-z)^2}{8}, 0\leqslant z \leqslant 2\\ \frac {(2-z)^2}{8}, -2\leqslant z \leqslant 0\\ 0, -\infty \leqslant z \leqslant -2\\ \end{array} \right. $

Т.е. опять не получается нормальной функции, но я не могу понять, где ошибка.
Во втором уравнении: сторона квадрата, который не отсекается прямой 2-z, площадь равна
$\frac{(2-z)^2}{2}$ и поделив еще на a^2, т.е. 4, и вычтя из 1, получил это уравнение.
В тертьем уравнении: сторона квадрата, который отсекает прямая, равна 2-z, площадь -
$\frac{(2-z)^2}{2}$ ну и поделив на 4 получил cамо уравнение.
Где я неправ?

[Henrylee]

uller писал(а):

Где я неправ?

Вот здесь

uller писал(а):

В тертьем уравнении: сторона квадрата, который отсекает прямая, равна 2-z

Она равна $2+z$

[uller]

Henrylee
Спасибо огромное за помощь и за терпение

Еще хотел спросить по поводу 3-й задачи пункта б:
Я решил так:
Т.к. нам известно, что выиграл игрок А, то вероятность того, что выиграл В равна 0, и вероятность того, что А выигрывает на 3-м ходу равна:
P= $\frac{1}{6} + \frac{1}{6}*(\frac{5}{6})^2$ (получил $\frac{61}{216}$)
Это верно?

[Henrylee]

uller писал(а):

вероятность того, что А выигрывает на 3-м ходу равна:
P= $\frac{1}{6} + \frac{1}{6}*(\frac{5}{6})^2$ (получил $\frac{61}{216}$)
Это верно?

Нет. То, что Вы написали, это вероятность, что игра закончится на 1-м или 3-ем ходу. А требуется найти условную вероятность, именно, нужно найти вероятность того, что игра закончится на 3-ем ходу и разделить ее на вероятность того, что вобще выиграет А (это сумма ряда, догадайтесь какого).

[uller]

Вероятность того, что игра закончится на 3-м ходу будет равна $\frac{1}{6}*(\frac{5}{6})^2$, а вероятность того, что выиграет А будет равна сумме нечетных (по номеру) членов ряда $\frac {1}{6}*(\frac{5}{6})^{n-1}$, так?

Есть вопрос еще по одной задаче:
Рассматривается пуассоновское поле точек на плоскости с постоянной плотностью b.Найти закон распределения расстояния R от любой точки поля до ближайшей к ней соседней точки.

Вот что надумал я:
Расстояние от одной точки до другой = R, тогда в площади S=\pi*R^2 будет находится одна точка, тогда b*\pi*R^2=1. Подскажите, пожалуйста, что делать дальше?

[Henrylee]

uller писал(а):

Вероятность того, что игра закончится на 3-м ходу будет равна $\frac{1}{6}*(\frac{5}{6})^2$, а вероятность того, что выиграет А будет равна сумме нечетных (по номеру) членов ряда $\frac {1}{6}*(\frac{5}{6})^{n-1}$, так?

Да

uller писал(а):

Есть вопрос еще по одной задаче:
Рассматривается пуассоновское поле точек на плоскости с постоянной плотностью b.Найти закон распределения расстояния R от любой точки поля до ближайшей к ней соседней точки.

Поскольку нужно найти $P(R\leqslant t)$ (ф.р. $R$),
ответьте себе на два вопроса:
1) Что значит событие $\{R\leqslant t\}$, с каким событием для случайной величины $N_t$ оно совпадает ($N_t$ - кол-во точек, попавших в замкнутый круг радиуса $t$ с центром в выбранной точке поля)
2) Какое распределение имеет с.в. $N_t$? Подсказка: если бы задача стояла найти распределение наименьшего расстояния до точки поля от произвольной фиксированной точки плоскости, то распределения $N_t$ было бы нам уже известно (пуассоновское с параметром $b\pi t^2$). А вданном случае оно "не совсем это же самое" , так как ни при каких $t>0$ $N_t$ не может быть равно нулю (по смыслу задачи в таком круге всегда будет хотя бы одна точка поля - центр круга).

[Valdemar]

Пожалуйста!!! Умоляю решите задачу!!! Все решил кроме этой последней задачи!!!

Рассматривается пуассоновское поле точек на плоскости с постоянной плотностью b. Найти закон распределения расстояния R от любой точки поля ближайшей к ней соседней точки.

Войдите в положение! Напишите решение этой задачи целиком! Плиз!!

[нг]

Valdemar — я могу Вам пообещать, что написавший полное решение получит замечание за нарушение правил. Это правило форума не имеет исключений. Мы пытаемся помочь научиться, а не помочь обмануть преподавателя.

[Henrylee]

Valdemar Я ведь разбил уже задачу на две. Раз Вы решили все остальные задачи, то и с этими можете попробовать справиться.