Система функциональных уравнений

[arseniiv]

Будем искать хотя бы раз дифференцируемые функции $F, G\colon[0;+\infty)\to[0;1]$ такие, что

$$\begin{align} G &= G_1 + F_1^2 G_2 / (1 - G_1 G_2), \\ G &= G_2 + F_2^2 G_1 / (1 - G_1 G_2), \\ F &= F_1 F_2 / (1 - G_1 G_2), \end{array}$$

где $F_1 = F(x)$, $F_2 = F(y)$, $F = F(x + y)$ и аналогично с $G_1, G_2, G$.

Не вижу, что толкового с ними можно сделать. Ясно, что $F(0) = 0\vee F(0) = 1\wedge G(0) = 0$ (первый член дизъюнкции можно даже не рассматривать, из смысла задачи однозначно следует второй).

Можно ещё наложить условие $F(x) + G(x)\leqslant1$. Можно рассмотреть $H\colon[0;+\infty)\to[0;1], F + G + H = 1$, но тут я пока ничего не увидел тоже.

-- Сб ноя 05, 2016 19:11:38 --

Вообще это я таким интересным способом переоткрываю зависимости долей света, прошедшего вперёд ($F$) и вернувшегося назад ($G$) из однородного полупрозрачного образца, от его толщины. Для простоты можно считать, что «вперёд» и «назад» соответствуют просто знаку скалярного произведения касательного вектора луча с направлением исходных лучей, которые параллельны друг другу и нормальны поверхности образца, который — правильный параллелепипед (и тогда скалярные произведения выше — это только $\pm1$, а если даже и нет, примем, что практически да) и т. д. и т. п..

[DeBill]

arseniiv
Имеем $F'_x = F'_y$. Поделив полученное ур-е на $F_1F_2G_1G_2$, и полагая $a=\frac{F_1'}{F_1}, b = \frac{F_2'}{F_2}$, получим, что дробь $\frac{a-b}{G_1G_2}$ имеет вид $p(x) - q(y)$. Дифференцируя по $x$ и $y$, и разделяя переменные, получим $(\frac{a}{G_1})' = \operatorname{const}\cdot (\frac{1}{G_1})'$, отсюда можно выразить $a$ через $G_1$. Аналогично выразим $b$ через $G_2$. И тогда, мобыть, из первых ур-й чето будет....

[arseniiv]

Спасибо, попробую.

[Vince Diesel]

У меня примерно на этом пути получилось $G_1'/F_1^2=G_2'/F_2^2=G'/F^2=\lambda$.

Upd. Исправил.

[arseniiv]

Что-то у меня так красиво не выходит, вторые производные $G_i$ появляются; ещё покомбинирую.

Vince Diesel
Это у вас уже из двух первых уравнений получилось?

[Vince Diesel]

Из первых двух $G_1'(x)F_2^2(y)=G_2'(y)F_1^2(x)$. Поделим переменные, получим первые два равенства. Затем в первом уравнении (продифференцированном) заменим $G_2'(y)$ на $\lambda F_2^2(y)$ и сравним с третьим уравнением. Получим $G'=\lambda F^2$.

[arseniiv]

Интересно, спасибо.

[mihiv]

Если взять первую производную первого уравнения по $x$ и положить затем $x=0$, то получим ДУ для функции

$G:G'(y)=G'(0)+2F'(0)G(y)+G'(0)G^2(y).$