Перемещение при равноускоренном движении

[Neinstein]

Добрый день!

Не могу найти ошибку в рассуждениях. Задачка совсем простая, но ожидаемый результат получить не удаётся.

Есть частица, которая двигается с постоянным ускорением $\vec{a}$. В начальный момент частица находилась в точке с радиус-вектором $\vec{r_0}$ и имела скорость $\vec{v_0}$. Требуется найти перемещение $\Delta\vec{r}$ за время t.

Рассуждаю следующим образом: в момент времени t частица окажется в точке с радиус-вектором $\vec{r_1}$, обладая скоростью $\vec{v_1}=\vec{v_0}+\Delta\vec{v}$. Скорость $\vec{v_1}$ = $\frac{\vec{r_1}-\vec{r_0}}{t}=\frac{\Delta\vec{r}}{t}$.
Отсюда $\Delta\vec{r}=(\vec{v_0}+\Delta\vec{v})t$, $\Delta\vec{v} = \vec{a}t$. Подставив $\Delta\vec{v}$ в выражение для искомой величины $\Delta\vec{r}$ получаю, что $\Delta\vec{r} = \vec{v_0}t+\vec{a}t^2$. Хотя ожидал получить несколько иной результат: $\Delta\vec{r} = \vec{v_0}t+\frac{\vec{a}t^2}{2}$.

Заранее спасибо!

[Slav-27]

Вот ошибка:

Neinstein в сообщении #1165645 писал(а):

Скорость $\vec{v_1}=\frac{\vec{r_1}-\vec{r_0}}{t}$

[Neinstein]

Slav-27 в сообщении #1165649 писал(а):

Вот ошибка:

Neinstein в сообщении #1165645 писал(а):

Скорость $\vec{v_1}=\frac{\vec{r_1}-\vec{r_0}}{t}$

Ммм... Да, у меня получается, что скорость в течение времени t постоянна, а она меняется. Т.е. я могу записать в таком случае среднюю скорость, которую можно вычислить как среднее арифметическое, правильно Вас понял? Тогда получим, что $\vec{v_{cp}} = \frac{(\vec{v_0}+ \vec{\Delta v})+\vec{v_0}}{2}$.

[Slav-27]

Neinstein
Решите сначала такую 1-мерную задачу: частица движется с постоянным положительным ускорением $a$, начальная скорость $0$. Какое расстояние пройдёт частица за время $t$?

Ваша задача к этой сводится.

-- 03.11.2016, 13:28 --

Neinstein в сообщении #1165655 писал(а):

$\vec{v_{cp}} = \frac{(\vec{v_0}+ \vec{\Delta v})+\vec{v_0}}{2}$

Это -- среднее значение скорости между начальным и конечным значением. Как менялась скорость в промежутке между этими двумя моментами -- тут это как бы не учитывается.

Но на самом деле это значение действительно равно среднему значению скорости за всё время движения! А почему?

[Neinstein]

Slav-27,

вот если графически решать что одномерный вариант, что общий, то всё получается замечательно: в одномерном случае имеем (например, двигаемся по x) $\Delta{x} = \frac{{a_x}t^2}{2}$, поскольку скорость меняется линейно ($v_x = a_x t$), а пройдённый путь — площадь под графиком $v_x (t)$ ($\Delta{x} = \frac{a_x t \cdot t}{2}$, там прямоугольный треугольник с катетами $a_x t$ и $t$). В случае же с $v_0$ отличной от нуля на графике будет трапеция, площадь которой тоже даст искомый результат. Но вот когда я хочу получить этот результат без графиков, возникают сложности.

Может ещё подсказку дадите?

[Slav-27]

Neinstein
Ну да, я ж говорю, это одна и та же задача.

Neinstein в сообщении #1165669 писал(а):

Но вот когда я хочу получить этот результат без графиков, возникают сложности.

Ну во-первых можно подумать и поверить, что то, что вы написали -- это действительно средняя скорость за всё время, -- проще всего это сделать глядя опять-таки на график.

Если хотите совсем без графиков, то давайте вот так. (Я имею в виду свою переформулировку с нулевой нач. скоростью, вообще всё точно так же.)

Разобьём промежуток времени от $0$ до $t$ на $N$ равных промежутков $\Delta t=\frac t N$. На $n$-м промежутке скорость возрастает от $a(n-1)\Delta t$ до $an\Delta t$. Уменьшим скорость: заменим скорость на каждом из промежутков минимальною скоростью на этом промежутке. Пройденное расстояние от этого уменьшится и станет равно

$$0 \cdot \Delta t +a\Delta t\cdot\Delta t + 2a\Delta t\cdot\Delta t+...+(N-1)a\Delta t\cdot\Delta t$$

$$=a(\Delta t)^2\frac{(N-1)N}2=\frac12 a(\Delta t)^2 N^2 \left(1-\frac1N\right)=\frac12 a t^2 \left(1-\frac1N\right).$$

Теперь увеличим пройденное расстояние, заменив скорость на каждом из промежутков на максимальную по промежутку: тогда расстояние увеличится и аналогичным вычислением получится $\frac12 a t^2 \left(1+\frac1N\right)$.

Итак имеем

$$\frac12 a t^2 \left(1-\frac1N\right)\leqslant s \leqslant\frac12 a t^2 \left(1+\frac1N\right).$$

Причём $N$ здесь можно брать какое угодно большое! Так как эти неравенства должны выполняться для любого $N$, то единственно возможный вариант $s=\frac12at^2$.

-- 03.11.2016, 15:34 --

Отсюда кстати видно, почему пройденное расстояние равно площади подграфика: площадь можно посчитать точно так же.

[Neinstein]

Slav-27,

преждевременно обрадовался, что понял. Пришлось удалить предыдущее сообщение... А неясность заключается в том, что не понимаю переход от минимальной скорости к максимальной: разница между ними равна $a\Delta{t}\cdot\Delta{t}$, т.е. в случае максимальной у нас почему-то на один участок больше получается. Стартуем от нуля и доходим до некоторой конечной скорости. Но почему максимальная определяется бОльшим количеством членов?

[arseniiv]

Там должно быть слагаемых одинаковое число что для меньшей, что для большей скорости — столько слагаемых, сколько отрезков, на которых мы функцию (скорость) оцениваем константой снизу и сверху.

[Neinstein]

arseniiv,

тогда, судя по всему, я не понимаю, что такое минимальная, а что такое максимальная скорость на каждом из промежутков. Чему они равны? И откуда вообще берутся? То, что описал Slav-27, относится к случаю, когда частица стартует с начальной скоростью равной 0, а в конце пути набирает некоторую скорость $v$ за счёт постоянного ускорения $a$ на каждом из промежутков, это условие. Т.е. в начале у нас при любом раскладе 0, а в конце $v$.

[StaticZero]

Neinstein в сообщении #1166115 писал(а):

я не понимаю, что такое минимальная, а что такое максимальная скорость на каждом из промежутков. Чему они равны? И откуда вообще берутся?

А в чём проблема с осознанием минимальной и максимальной скоростей на промежутках?

Возьмите $f(x) = x^2$ на промежутке $[0, 4]$. Чему равны минимальное и максимальное значение $f(x)$ на нём? Разбейте этот промежуток на две, затем на четыре равные части. Для каждого разбиения найдите минимальное и максимальное значения $f(x)$ на каждом из подотрезков взятого разбиения.

Neinstein в сообщении #1165894 писал(а):

т.е. в случае максимальной у нас почему-то на один участок больше получается. Стартуем от нуля и доходим до некоторой конечной скорости. Но почему максимальная определяется бОльшим количеством членов?

Нет. Если вы берёте на каждом отрезке разбиения максимальные значения скорости, то начинаете вы не с нуля, а со значения

$$v\left(\dfrac{t}{N}\right) = \dfrac{at}{N}$$

и заканчиваете значением $v(t) = at$. А когда вы берёте минимальные значения, то начинаете со значения $v(0) = 0$ и заканчиваете значением

$$ v\left(\dfrac{(N - 1)t}{N}\right) = \dfrac{(N - 1)at}{N} = at - \dfrac{at}{N}. $$

Смекаете? (с)

[arseniiv]

(Написано до того, как увидел ответ StaticZero. Оставлю.)

Neinstein
Ну как же, вот у нас равноускоренное движение, так что $\vec v = \vec v_0 + \vec at$, а в текущем одномерном рассмотрении — $v = v_0 + at$, $a>0$, так что $v$ — возрастающая функция $t$, что эквивалентно тому, что если $t\in(t_1;t_2)$, $t_1<t_2$, то $v(t_1) < v(t) < v(t_2)$. $v(t_1)$ и $v(t_2)$ — соответственно минимум и максимум $v$ на отрезке $[t_1;t_2]$.

-- Сб ноя 05, 2016 03:06:27 --

А вообще, конечно, если я ничего не пропустил, ещё требуется постулировать, что перемещение тела со скоростью $v_1$ на промежутке $I$, поточечно не превосходящей $v_2$ на нём, не превосходит перемещения тела со скоростью $v_2$ на том же $I$. Или уж сразу, что скорость — производная перемещения. Или что перемещение — площадь под графиком скорости. Манипуляциями с равноускоренным движением всё это не докажется, и если непонятно, откуда берутся именно эти факты, то вот: ниоткуда, их в текущем положении надо принимать на веру.

[Neinstein]

StaticZero, arseniiv,
дошло всё-таки!
Всем огромное спасибо! Наконец-то всё понял!:)