Обратная функция полуокружности в верх. коорд. полуплоскости

[bssgrad]

Задача: Графиком функции служит полуокружность с центром в начале координат и радиусом, равным $3$, расположенная в верхней координатной полуплоскости. Существует ли для этой функции обратная?

Решение:
Уравнение окружности: $x^2 + y^2 = r^2$.
$y^2 = r^2 - x^2$,
$\sqrt{y^2} = \sqrt{r^2 - x^2}$,
$|y| = \sqrt{r^2 - x^2}$,
По условиям задачи: $y\in{[0;3]}$. Следовательно, функция полуокружности в верхней полуплоскости имеет запись: $y = \sqrt{9 - x^2}$.
Для нахождения обратной функции:
- выразим $x$ через $y$:
$x^2=9-y^2$;
$\sqrt{x^2}=\sqrt{9 - y^2}$;
$|x|=\sqrt{9 - y^2}$;
- поменяем местами $x$ и $y$: $|y| = \sqrt{9 - x^2}$.
Получается, что при преобразовании указанной выше функции полуокружности $y = \sqrt{9 - x^2}$ в обратную каждому $x$ обратной функции соответствует 2 значения обратной функции $y$, что не является собственно функциональной зависимостью, а, следовательно, вышеуказанная функция полуокружности в верхней полуплоскости необратима.
Необратимость данной функции также очевидна, если ее преобразовать с помощью правила: Чтобы получить график функции $y=f(x)$, надо график функции $y=f(x)$ преобразовать симметрично относительно прямой $y=x$.
При таком преобразовании получается изображение полуокружности в правой полуплоскости, которое функцией не является.

Однако, почему-то в ответах в конце учебника на вопрос о существовании обратной функции для данной дается положительный ответ: "Да".
В то же время, в ответах в данном учебнике часто допускаются ошибки, и, возможно, здесь также допущена ошибка, однако, для меня это не очевидно.
В интернете решение данной задачи не нашел.

[mihailm]

Нет, обратной не существует. А определение (которое у вас есть) обратной функции напишете?

[bssgrad]

mihailm в сообщении #1165532 писал(а):

Нет, обратной не существует. А определение (которое у вас есть) обратной функции напишете?

Определение: Функция $y=f(x)$, определенная на промежутке $X$, называется обратимой, если любое свое значение она принимает только в одной точке промежутка $X$; иными словами, если разным значениям аргумента соответствуют разные значения функции.

[mihailm]

А нельзя сразу (напрямую) это определение применить к задаче?

[bssgrad]

mihailm в сообщении #1165543 писал(а):

А нельзя сразу (напрямую) это определение применить к задаче?

Согласен, я и пишу, что графически это очевидно. Но для меня это новая тема, и могу допустить ошибку или чего-то недопонять.
Спасибо за ответ.

[mihailm]

Графически очевидно - это не доказательство, в определении про график вообще ничего не сказано.
Доказательство (решение) будет начинаться примерно так: Раз любое свое значение обратимая функция принимает один раз, то и значение ... она тоже обязана принимать один раз. Но ...