Матрица Якоби ортогональна

[Padawan]

Пусть $f$ - непрерывно дифференцируемое отображение области $D\subset \mathbb {R}^n$ в $\mathbb R^n$, причем в каждой точке $x\in D$ матрица Якоби $f'(x)$ ортогональна. Доказать, что $f'(x)=A={\mathrm{const}}$, т.е. $f(x)=Ax+b$.

[DeBill]

Посмотрим, во что превратится стандартная евклидова метрика при этом отображении.
Опа, она - сохранилась. Значит, наше от-е суть ДВИЖЕНИЕ - преобр-е, сохраняющее метрику. Значит, отрезки (кратчайшие пути меж точками, то бишь, геодезические) переходят в отрезки (той же длины), сохраняются углы (в треугольниках), прямые - в прямые, и т.д.. Теорема Шаля, в общем....

[Padawan]

Да, такое решение и задумывалось (хотя я бы подробнее расписал, почему преобразование сохраняет расстояние между точками, но это мелочи). Но потом я подумал, что можно привести чисто аналитическое решение, которое еще обобщается на более интересные случаи. Сначала сформулирую обобщение задачи, а потом опишу план решения. Конкретно решение стартовой задачи опишу позже.

Обобщение стартовой задачи: Пусть имеется некоторое подмножество $L$ пространства всех квадратных матриц $M$ порядка $n$. Будем считать, что $L$ - $p$-параметрическое подмножество, $A=A(a_1,\ldots, a_p)$ -- произвольная матрица из $L$, задаваемая параметрами $a_1,..,a_p$. Требуется найти отображение $f\colon D\to \mathbb R^n$ такое, что матрица Якоби $f'(x)\in L$ для любого $x\in D$.

План решения: Для системы уравнений $\frac{\partial y^i}{\partial x^j}=A(a_1(x),\ldots, a_p(x))$ запишем условия интегрируемости $\frac{\partial^2 y^k}{\partial x^i\partial x^j}=\frac{\partial^2 y^k}{\partial x^i\partial x^j}$. Отсюда получим уравнения на параметры $a_r(x)$.

В качестве частного случая предлагаю доказать теорему Лиувилля (сам не пробовал еще ): при $n\geqslant 3$ конформные отображения $f\colon D\to \mathhbb R^n$ исчерпываются композициями сдвигов, ортогональных преобразований, гомотетий и инверсий. Конформное отображение - это отображение, матрица Якоби которого в каждой точке есть ортогональная матрица, помноженная на константу.

[scwec]

Вот еще один частный случай. Заменим слово "ортогональна" в тексте первоначальной задачи на "кососимметрическая".
Результат тот же.