Доказать, что мощность подмножества не превосходит n

[makak]

Пусть F — набор подмножеств n-элементного множества, удовлетворяющий следующим свойствам:
$\forall A \in А F: |A|\equiv1 (\mod 2)$

$\forall A, B \in А F: A \neq B\Rightarrow |A \cap B|\equiv0 (\mod 2)$

Доказать, что $|F| \leqslant n$

В целом, понятно как доказывать, если модулей нет, через линейную алгебру. Есть неравенство Фишера, которое говорит о том, что если пересечение равно какому то постоянному числу, то это $|F| \leqslant n$ выполняется.

Это доказывается через линейную алгебру, из того, что вот эта формула не равна 0, если $|F| = m > n $.

$\sum_{i=1}^m \lambda_i^2\cdot |A_i| + \sum_{i \neq j} \lambda_i \cdot \lambda_j |A_i \cap A_j| \neq 0$

Как это приспособить для модулей и можно ли, я не могу догадаться и вообще с арифметикой по модулю мне очень тяжело.
Буду благодарен за любую помощь