Максимальная площадь трапеции

[sond]

Доброго времени суток.

Задача: найти максимальную площадь трапеции с двумя углами по 60 градусов, вписанной в единичную окружность.

Вроде бы естественно предположить, что решение состоит в нахождении условного экстремума, следовательно, в применении метода Лагранжа. Но здесь я не знаю как формализовать условие. И еще возникает следующий вопрос: можно ли решить эту задачу элементарными методами (на уровне школьной геометрии, например)?

[DeBill]

sond
Есть такая формула для площади чет-ка - через диагонали, и угол промеж них...
А диагонали то видны из вершин под углом в 60, так что...

[redicka]

sond, можно решить по-школьному-найти наибольшее значение функции на промежутке.

[ewert]

Можно ещё проще: найти максимальную из возможных площадей при условии, что эта площадь известна.

[Dmitriy40]

А нужно ли решать алгебраически если задача несложно решается аналитически школьной тригонометрией?

(Подсказка)

Выбрав за переменную величину угол $\alpha$, под которым боковая сторона трапеции видна из центра описанной окружности, после дополнительных построений (радиусов и перпендикуляров) и математических преобразований придём к формуле $S\sim R^2 \sin \alpha, \alpha \in [0°..120°]$, что сразу даёт величину максимума площади при $\alpha = 90°$ и величину площади трапеции.

[RikkiTan1]

Какой ответ у этой задачи? У меня получилось $3/2$. Но тут

Dmitriy40 в сообщении #1164879 писал(а):

к формуле $S\sim R^2 \sin \alpha, \alpha \in [0°..120°]$

что означает $\sim$?

[sond]

Удалось получить следующее:

Используем то, что вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу:

$$\frac{d}{\sin{\frac{\pi}{3}}} = 2R$$

Тогда

$$S_{ABCD}=\frac{1}{2}d^2\sin(\pi-\alpha)=\frac{3}{2}R^2\sin{\alpha}=\frac{3}{2}\sin{\alpha}$$

Максимум, действительно, достигается при $\alpha=\frac{\pi}{2}$, и, соответственно, максимальная площадь получается равной $\frac{3}{2}$.

Остался лишь вопрос, как именно следует понимать одну из подсказок, приведенную выше. Конкретно, что $S \sim R^2\sin{\alpha}$.

[Dmitriy40]

RikkiTan1, sond
Значком "$\sim$" я обозначил прямую пропорциональность (с некоторым определённым, но не указанным явно коэффициентом, чтобы не давать сразу полный ответ). Мой ответ тоже разумеется $S_{max}=1.5$.