Доброе время суток!
Хотелось бы понять рассматривались ли такие конструкции, для ясности приведу простой пример и этой оперы, а потом опишу общий вид.
Возьем кольцо вычетов по модулю
![$6$ $6$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/2/7/327c36301dc71617dc7032f8ce30b23682.png)
:
![$\mathbb{Z}_6$ $\mathbb{Z}_6$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/c/4/0c40c537a4449b7b662ed8098d2dd48b82.png)
, и попробуем присоединить к нему обратный к
![$4$ $4$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/c/f/ecf4fe2774fd9244b4fd56f7e76dc88282.png)
элемент:
![$\frac{1}{4}$ $\frac{1}{4}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/6/e/56ea6e9aad5379d31310f1b27831a26582.png)
.
Для этого рассмотрим множество формальных выражений вида:
![$a + \frac{b}{4}$ $a + \frac{b}{4}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/d/4/ed48faf87f92457b367388b2a84bdf2682.png)
, так как
![$4 \cdot 4 = 16 = 6\cdot2 + 4$ $4 \cdot 4 = 16 = 6\cdot2 + 4$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/5/2/952f6efaa94535c69712a5e1e83efdf782.png)
, то в кольце
![$\mathbb{Z}_6$ $\mathbb{Z}_6$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/c/4/0c40c537a4449b7b662ed8098d2dd48b82.png)
верно, что
![$4^2 = 4$ $4^2 = 4$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/8/1/b81add1272af46650d539dbe6aec5a5182.png)
, что дает нам право в нашем расширении считать
![$(\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{4}$ $(\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{4}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/2/b/22bd650bc3017776eb02962ff5a1084b82.png)
, таким образом легко проверить, что наше множество есть снова кольцо: сложение и вычитание выполняем,естественно, покомнонентно, а умножение дается такой формулой:
![$(a + \frac{b}{4})(c + \frac{d}{4}) = ac + \frac{ad + bc + bd}{4}$ $(a + \frac{b}{4})(c + \frac{d}{4}) = ac + \frac{ad + bc + bd}{4}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/d/c/2dc99cf0fe19fda91bdd83889c8b6db382.png)
В общем случае можно к конечному кольцу присоединить обратный элемент по такому признаку, если только он не является нильпотентом (ибо тогда возникает деление на ноль,что неприятно), и как бы движемся в сторону поля.
P.S. Я уверен, что подобные вещи рассматривались в свое время, но скорее всего тут ничего особо интересного и нет, ибо сразу видется много трудностей (в случае бесконечных колец такие расширения будут иметь бесконечную размерность, а в случае конечных колец нельзя адекватно присоединить нильпотенты), но все равно интересно.