Или, другими словами, если брать произвольные делимые, то возможные значения остатка зависят от делителя
— это
, а с частными такого нет.
Как описать на мат.языке, что остатки от деления разных чисел нельзя складывать?
Скорее, пришлось бы описывать, что их можно складывать, если бы их можно было бы складывать. Операции не распространяются за пределы области определения волшебным образом, это всегда делается явно. Вот, например, остатки от деления на одно и то же число складывать можно — но и то не просто так: деление 3 на 5 даст остаток 3, и деление 9 на 5 даст остаток 4, но деление
даст остаток 2, а не 7. Чтобы получить 2, надо снова взять остаток от деления вылезшего за границу 7 на 5. Иначе говоря,
, где
— остаток от деления
на
. (Иногда это обозначается ещё
, хотя чаще дело вообще имеют не с остатками, а с эквивалентностью по модулю, которую тут обсуждать, наверное, не будем.) Вычитать и умножать таким способом тоже можно:
а вот делить не советую. Всё это можно доказать, исходя из определения остатка.