Специальный вид простого числа

[rightways]

Докажите, что если простое число $p\equiv -1\pmod 7$ , то существует целое число $n$, такое , что число $n^3+n^2-2n-1$ делится на $p$.

-- 28.10.2016, 12:44 --

Не могу понять откуда вышло выражение $n^3+n^2-2n-1$,
Эту задачу давали школьникам по олимпиаде, так что хотелось бы увидеть более элементарные решения и попытки.

[Sonic86]

Для нешкольников:
Основные идеи написаны были здесь: topic97524.html

nnosipov в сообщении #1018969 писал(а):

Можно взять любой нормированный неприводимый кубический многочлен $f(x)$ с целыми коэффициентами, имеющий корень в поле $\mathbb{Q}(\zeta+\zeta^{-1})$, где $\zeta^7=1$. Сравнение $f(x) \equiv 0 \pmod{p}$ имеет решения тогда и только тогда, когда $p \equiv \pm 1 \pmod{7}$ или $p=7$.

К сожалению, в полном объеме мне эта идея неподвластна

rightways в сообщении #1163705 писал(а):

Не могу понять откуда вышло выражение $n^3+n^2-2n-1$,

Возьмем уравнение $t^7=1$ и начнем его решать возвратным методом Эйлера:
$t^{3}+t^2+t+1+t^{-1}+t^{-2}+t^{-3}=0$
Подстановка $x=t+t^{-1}$ приводит нас к уравнению $x^3+x^2-2x-1=0$

[rightways]

Для $p=7k+1$ доказать можно, но для $7k-1$...

[kotenok gav]

Sonic86 в сообщении #1163936 писал(а):

возвратным методом Эйлера

А что это такое?

[Sonic86]

(kotenok gav)

kotenok gav в сообщении #1164628 писал(а):

Sonic86 в сообщении #1163936 писал(а):

возвратным методом Эйлера

А что это такое?

Имеется ввиду способ решения уравнений вида $ax^{2n}+bx^{2n-1}+cx^{2n-2}+...+cx^2+bx+a=0$ - надо поделить на $x^n$ и делать замену $t=x+x^{-1}$ - так степень уравнения понижается в 2 раза.

[kotenok gav]

Sonic86
Спасибо!!