2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Сумма степени двойки и степени тройки
Сообщение28.10.2016, 00:01 


11/08/16
193
Сколько существует натуральных чисел, представимых в виде суммы неотрицательной целой степени двойки и неотрицательной целой степени тройки двумя различными способами?

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиадная задача
Сообщение28.10.2016, 00:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10908
Crna Gora
OEIS писал(а):
Conjecture: only (небольшой списочек) can be expressed in two different ways. ... Sep 19 2012

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиадная задача
Сообщение28.10.2016, 00:34 
Заслуженный участник


10/01/16
2318
sa233091
То ли я что-то не вижу?
Задача сводится к $2^a - 2^b = 3^x - 3^y$
Или: $2^c - 3^y = 1, 3^z - 2^b = 1$
Первое: по модулю 3, дает четность $c$, и далее - разность квадратов.
Второе: по модулю 4 дает четность $z$, и далее - разность квадратов...

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиадная задача
Сообщение28.10.2016, 02:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10908
Crna Gora
DeBill
Вот 5 известных решений (A085634):
$2^1+3^1 = 2^2+3^0 = 5$
$2^1+3^2 = 2^3+3^1 = 11$
$2^3+3^2 = 2^4+3^0 = 17$
$2^3+3^3 = 2^5+3^1 = 35$
$2^4+3^5 = 2^8+3^1 = 259$
(Несуществование шестого под вопросом. На компьютере проверено до больших чисел и не найдено.)
Из них только последнее не подходит под Ваш шаблон, но всё же является контрпримером:
$2^4(2^4-1)=240=3^1(3^4-1)$,
но $2^4-1\neq 3^1, \; 3^4-1\neq 2^4$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиадная задача
Сообщение28.10.2016, 09:40 


11/08/16
193
DeBill в сообщении #1163656 писал(а):
sa233091
То ли я что-то не вижу?
Задача сводится к $2^a - 2^b = 3^x - 3^y$
Или: $2^c - 3^y = 1, 3^z - 2^b = 1$
Первое: по модулю 3, дает четность $c$, и далее - разность квадратов.
Второе: по модулю 4 дает четность $z$, и далее - разность квадратов...

Можете написать решение с разностью квадратов поподробнее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиадная задача
Сообщение28.10.2016, 11:53 
Заслуженный участник


10/01/16
2318
svv
Ага, спасибо, и правда - не вижу.
DeBill в сообщении #1163656 писал(а):
сводится к $2^a - 2^b = 3^x - 3^y$
Или: $2^c - 3^y = 1, 3^z - 2^b = 1$

Сводится - да. Но "или" отсюда не следует: у скобок мог быть общий множитель, и что с ним делать - совсем непонятно.
sa233091
Если в ур-ии $2^c - 3^y = 1$ , $c=2k$, то
$3^y = (2^k - 1)(2^k +1) $. Тогда обе скобки - степени тройки. Но их разность равна 2....

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиадная задача
Сообщение28.10.2016, 13:27 


11/08/16
193
А как решить в общем виде

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиадная задача
Сообщение28.10.2016, 14:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
sa233091 в сообщении #1163747 писал(а):
А как решить в общем виде
(Если это был вопрос.) Обычно алгоритм зависит от уровня профессионализма. Я выскажу свою точку зрения, как следует поступать студенту, для примера.
Если несколько человек, профессионально связанных с математикой, посмотрели и не смогли решить (при этом кто-то со степенью Ph.D. взял на себя смелость сообщить об этом вслух, как в данном случае на странице энциклопедии), тогда следует предпринять несколько непродолжительных попыток к решению и бросить. Вместо этого надолго заняться систематическим изучением прилегающей мат.части (теории).

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиадная задача
Сообщение28.10.2016, 14:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10908
Crna Gora
:-) точно.

sa233091
В чём, по-Вашему, был смысл моего первого сообщения в этой теме? Слово «конъектура» я ещё и подчеркнул, а Вы всё равно не заметили, либо не поняли...

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение28.10.2016, 15:32 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неинформативный заголовок;

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение28.10.2016, 17:40 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Олимпиадные задачи (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма степени двойки и степени тройки
Сообщение28.10.2016, 18:34 


11/08/16
193
Вы извините я не совсем понял последние сообщения. Я просто попросил помощь в решении олимпиадой задачи 11 кл.

-- 28.10.2016, 18:59 --

grizzly в сообщении #1163751 писал(а):
sa233091 в сообщении #1163747 писал(а):
А как решить в общем виде
(Если это был вопрос.) Обычно алгоритм зависит от уровня профессионализма. Я выскажу свою точку зрения, как следует поступать студенту, для примера.
Если несколько человек, профессионально связанных с математикой, посмотрели и не смогли решить (при этом кто-то со степенью Ph.D. взял на себя смелость сообщить об этом вслух, как в данном случае на странице энциклопедии), тогда следует предпринять несколько непродолжительных попыток к решению и бросить. Вместо этого надолго заняться систематическим изучением прилегающей мат.части (теории).

А где взять теорию по этой теме?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма степени двойки и степени тройки
Сообщение28.10.2016, 21:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
sa233091 в сообщении #1163840 писал(а):
Я просто попросил помощь в решении олимпиадой задачи 11 кл.
А из какого источника Вы узнали условие этой задачи?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма степени двойки и степени тройки
Сообщение28.10.2016, 22:40 


11/08/16
193
grizzly в сообщении #1163914 писал(а):
sa233091 в сообщении #1163840 писал(а):
Я просто попросил помощь в решении олимпиадой задачи 11 кл.
А из какого источника Вы узнали условие этой задачи?

Формула единства 11 кл. 2016-17

-- 28.10.2016, 22:41 --

http://www.formulo.org/wp-content/uploa ... ussian.pdf

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма степени двойки и степени тройки
Сообщение28.10.2016, 23:02 


20/03/14
12041
 !  В таком случае, тема закрыта до 18 ноября 2016 года.
sa233091, спасибо за информацию. Тем не менее,
Вам предупреждение за размещение задачи с действующей олимпиады.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group