Дана цепь переменного тока, изображённая на рисунке (амплитуда синусоидального источника напряжения 1 В).
Нужно найти сдвиг фаз и отношение амплитуд сигналов

и

(имеются ввиду напряжения).
(Рисунок)
(Выкладки)
Ясно, что

есть функция источника питания. Пусть тогда

. Обозначим ток, протекающий через резистор

, как

. Он связан с сигналом

таким образом:

Следовательно, нам нужно найти только функцию

. Рассмотрим

-контур; обозначим напряжение на нём как

. Из суммы протекающих через его ветви токов получаем

Учтём теперь, что

. Проведя несложные преобразования, получим


Подставим теперь сигнал

, который нам известен, в уравнение. Получаем

Ищем решение дифференциального уравнения в виде

. Подставим, продифференцируем, фазу справа выделим, имеем
![$$
U\left[\omega R C \cos (\omega t + \varphi) + \left(1 + \dfrac{R}{R_0}\right) \sin (\omega t + \varphi)\right] = U_0 (\omega R C \cos \omega t + \sin \omega t),
$$ $$
U\left[\omega R C \cos (\omega t + \varphi) + \left(1 + \dfrac{R}{R_0}\right) \sin (\omega t + \varphi)\right] = U_0 (\omega R C \cos \omega t + \sin \omega t),
$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/e/0/0e09066a8d00c0f5a9d589f1f9a9c1b982.png)


Это равенство должно быть тождественное. Тогда нужно потребовать, чтобы

и

Обозначим здесь

(постоянная времени

-контура) и

(

— некий коэффициент, характеризующий долю активного сопротивления контура во всём активном сопротивлении цепи). Тогда получим такое выражение:

Теперь разберёмся с фазами. "Протангенсуем" обе части равенства

парой строчек выше (ага, вспомним, что углы

и

появились через преобразования синусов и выражаются через тангенсы):

В пределе

получается

как и должно быть.
Upd:
Посмотрим теперь в случае

(в таком случае

и получается последовательное

-соединение). В таком случае

(нормально) и

(неправильно). Значит, я где-то ошибся?
Вопросы такие:
1) правильно я посчитал?
2) даже для такой простой цепи получилась тонна выкладок, ещё и дифференциальное уравнение пришлось решать. Можно ли проще? Я слышал что-то про метод векторных диаграмм (читаю книгу, вижу фигу). Если я хочу его применить сюда, то мне нужно отложить известный вектор (

, как я понимаю), а затем, используя соотношение фаз для цепи с конденсатором, отложить

. Но у меня затруднения есть, как обращаться с параллельным соединением

в таком случае.