Три нуля и семёрка

[Ktina]

В вершинах квадрата стоят три нуля и семёрка. Можно вычитать из любого числа единицу, одновременно прибавляя шестёрку к числу, написанному в одной из соседних вершин. Можно ли сделать все числа равными?
(по мотивам отбора на Cono Sur 2002)

[maxal]

Можно. Занумерум вершины по периметру числами от 1 до 4 так, чтобы 7-ка стояла в вершине #1. Операцию уменьшения числа в вершине $i$ на единицу и увеличения в вершине $j$ ($j=i\pm 1$) на 6 обозначим $(i-,j+)$.

Применяя две операции $(1-,4+)$, одну $(2-,3+)$, четыре $(3-,2+)$, три $(3-,4+)$, четыре $(4-,3+)$ и три $(4-,1+)$, получим в каждой вершине значение 23.

[arseniiv]

Вчера пытался применить линейную алгебру, но заехал куда-то не туда. А как вы получили?

[maxal]

Моя линейная алгебра заехала туда

[Ktina]

maxal
Большое спасибо!

-- 27.10.2016, 22:44 --

(Оффтоп)

Сенька, бери мяч!

[svv]

Можно уменьшить количество операций до $13$:
$4\times (1-,2+)$
$3\times (2-,1+)$
$3\times (2-,3+)$
$3\times (1-,4+)$
Конечное значение уменьшится до $18$.

[Ktina]

svv
И Вам большое спасибо!

-- 28.10.2016, 11:52 --

Осталось доказать минимальность числа операций...

[grizzly]

Ktina в сообщении #1163732 писал(а):

Осталось доказать минимальность числа операций...

А какие там варианты меньше? 3, 8, 13 -- для значений по углам и, соответственно, 1, 5, 9 -- число операций. (Это из согласования по модулю 4 и 5.) Всё это тривиально проверяется. Думаю, что в процессе своего решения svv получал минимальность.

Собственно, если не полениться потратить 5 минут на решение перебором, то отбросив 1,5 и 9 за 2 минуты, вполне можно за оставшиеся 3 убедиться, что 13 -- подходит. Например, так:
$2\times (2-,1+)$
$1\times (1-,2+)$
$3\times (3-,4+)$
$4\times (2-,3+)$
$3\times (3-,2+)$
(Это решение мне почему-то кажется более наглядным, если подбирать в уме.)

-- 28.10.2016, 13:01 --

Но догадаться с самого начала пойти таким перебором можно или от безнадёжности, или уже зная, что достаточно короткое решение существует. Я выбрал второй вариант :)

[Ktina]

grizzly
И Вам большое спасибо!