Корректна ли школьная задача на производную?

[NL0]

На рисунке изображен график движения точки по прямой. По горизонтали отложено время. По вертикали -- расстояние до точки отсчета. Сколько раз за наблюдаемый промежуток времени точка останавливалась?


Первое что смущает -- это то, что время может быть отрицательно. Когда точка останавливается скорость равна нулю. А значит производная пути равна нулю (или правильнее сказать расстояния?). Я так понимаю, что это когда касательная к графику изображенной функции параллельна оси абсцисс. Она параллельна оси абсцисс при $x=0$ и еще, возможно, при $x=7$. Но ведь после $x=7$ дальше не изображено ничего. Видимо там точка остановилась. Но касательная будет ли параллельна -- неизвестно.

[Anton_Peplov]

NL0 в сообщении #1161888 писал(а):

Первое что смущает -- это то, что время может быть отрицательно.

Это не важно. "Минус три секунды" - это просто "за три секунды до включения секундомера".

NL0 в сообщении #1161888 писал(а):

А значит производная пути равна нулю (или правильнее сказать расстояния?)

Можно сказать и так, и так, но сказать "пути" эстетичнее, потому что расстояния бывают разные, а пройденный путь - однозначно определенная физическая величина.

NL0 в сообщении #1161888 писал(а):

Я так понимаю, что это когда касательная к графику изображенной функции параллельна оси абсцисс. Она параллельна оси абсцисс при $x=0$ и еще, возможно, при $x=7$. Но ведь после $x=7$ дальше не изображено ничего. Видимо там точка остановилась. Но касательная будет ли параллельна -- неизвестно.

Если спрашивается, когда скорость в точке $x$ оказалась равна нулю, то это только точка $x = 0$. В крайней правой точке ($x=7$) производная, и вместе с ней - касательная, вообще не определена (они существуют лишь во внутренних точках области определения). Можно определить в этой точке "производную слева", но вряд ли это то, что спрашивалось в задаче. "Остановилась" ли точка в точке $x = 7$ зависит от того, как мы понимаем слово "остановилась". Судя по графику, в этой точке просто секундомер выключили (если бы точка во все моменты времени, начиная с $x = 7$, была неподвижна, был бы горизонтальный участок на графике).

[arseniiv]

Anton_Peplov в сообщении #1161891 писал(а):

Можно определить в этой точке "производную слева", но вряд ли это то, что спрашивалось в задаче.

И потом, даже если и определить, на мой лично глаз она ненулевая.

[Munin]

NL0 в сообщении #1161888 писал(а):

Первое что смущает -- это то, что время может быть отрицательно.

Anton_Peplov в сообщении #1161891 писал(а):

Это не важно. "Минус три секунды" - это просто "за три секунды до включения секундомера".

Не совсем так :-) Ведь до включения секундометра мы не могли измерять время, и знать, что интересующий нас момент - за три секунды.

Но секундометр мог работать всё время. А "ноль секунд" - это просто такой момент, когда стрелка проходит через ноль. То есть, стрелка могла начать двигаться с положений до нуля. В этом нет ничего плохого. Посмотрим на выражения "год до нашей эры", или "за столько-то лет до моего рождения", "за три минуты до полуночи". Здесь везде указывается время, отложенное в обратную сторону от некоторой выбранной точки отсчёта. И если мы по одной шкале говорим "за три минуты до полуночи", то по другой - говорим "в 57 минут после 11 часов вечера" - то есть, мы можем сопоставить отрицательной величине относительно одной точки отсчёта - другую, уже положительную величину относительно другой точки отсчёта.

Вообще, во многих физических величинах можно выбрать ноль условно. Это пространственные координаты, угол поворота, время. Есть и другие такие величины, но их "условность нуля" оказывается сложным и неочевидным фактом. Например, потенциальная энергия, электрический потенциал.

В то же время, конечно, это относится далеко не ко всем физическим величинам. Нулевую скорость нельзя путать с ненулевой. Нулевое ускорение - с ненулевым. Нельзя сдвинуть нуль у угловой скорости, у силы, работы, давления, и так далее.

NL0 в сообщении #1161888 писал(а):

А значит производная пути равна нулю (или правильнее сказать расстояния?).

Здесь - правильнее сказать "расстояния". Во-первых, раз в условиях задачи говорится про расстояние, то зачем перевирать их?

А во-вторых, и это главное, пройденный путь всегда может только расти, и никогда не может уменьшаться. А на приведённом графике есть участок уменьшения. Поэтому, график совершенно точно не может быть графиком пути.

NL0 в сообщении #1161888 писал(а):

Но ведь после $x=7$ дальше не изображено ничего. Видимо там точка остановилась.

Нет. Это значит, что мы перестали рисовать её график. А судить о том, остановилась она или нет, мы не можем. Для этого как раз нужен был бы график немного дальше - чтобы мы увидели на нём строго горизонтальный прямой участок.

Anton_Peplov в сообщении #1161891 писал(а):

В крайней правой точке ($x=7$) производная, и вместе с ней - касательная, вообще не определена (они существуют лишь во внутренних точках области определения). Можно определить в этой точке "производную слева", но вряд ли это то, что спрашивалось в задаче.

Это всё "заскоки педанта-математика". Для физика должно быть очевидно, что касательная, которую удастся провести слева, и будет скоростью точки в момент времени $x=7.$

Впрочем, тут надо смотреть, задана ли задача на предмете "Математика" или на предмете "Физика". На "Физике" вообще принято время обозначать $t.$

[Anton_Peplov]

Munin в сообщении #1162009 писал(а):

А во-вторых, и это главное, пройденный путь всегда может только расти, и никогда не может уменьшаться. А на приведённом графике есть участок уменьшения. Поэтому, график совершенно точно не может быть графиком пути.

Ох, а я и не заметил. Тогда это действительно не путь, а расстояние до начала отсчета (если угодно, модуль перемещения).

[AV_77]

Неподвижная точка и точка, вращающаяся по окружности вокруг точки отсчета, имеют один и тот же график расстояния - прямую. Как по графику расстояния до точки отсчета можно определить сколько раз точка останавливалась?

[Xaositect]

AV_77 в сообщении #1162271 писал(а):

Неподвижная точка и точка, вращающаяся по окружности вокруг точки отсчета, имеют один и тот же график расстояния - прямую. Как по графику расстояния до точки отсчета можно определить сколько раз точка останавливалась?

NL0 в сообщении #1161888 писал(а):

На рисунке изображен график движения точки по прямой.

[AV_77]

Да, это я как-то упустил.

[mihailm]

Что то я не помню в учебниках математики (и для школы и для вузов) понятия точка остановки. У физиков есть такое понятие?
Далее, при чем здесь производная для меня не совсем понятно.

[NL0]

Это задача из сборника для подготовки к ЕГЭ по математике. Спасибо за информацию!

[Munin]

В школе, как я понимаю, понятия "производная слева" не вводят.

[ewert]

mihailm в сообщении #1162291 писал(а):

У физиков есть такое понятие?

У физиков много чего нет. У них нет времени, обозначаемого иксами. Они остереглись бы говорить о расстоянии (которое всё-таки тоже всегда неотрицательно), чтобы не сбивать с толку.

[Батороев]

Munin в сообщении #1163279 писал(а):

В школе, как я понимаю, понятия "производная слева" не вводят.

По-видимому, в школе анализ графика сводился к рассмотрению изменения направления перемещения.

[wrest]

Условия конечно нечеткие -- непонятно что там с точкой $x=7$, на глаз определить ноль градусов у касательной или нет -- не получается. Непонятно зачем начали график из отрицательных иксов, и наконец непонятно как все-таки движется точка. Если "точка отсчета" находится вне прямой, по которой движется точка, то движение точки через проекцию точки отсчета как раз и покажет сначала уменьшение расстояния, а потом увеличение.