Инвариантность формы первого дифференциала

[SomePupil]

Возможно, баян, но все же...

Своими руками хотел доказать инвариантность формы первого дифференциала. Взял функции $y(x)$, $x(t)$. Они дифференцируемы в понятно каких точках. Далее:

$$dy = A \cdot \Delta x.$$

$$\Delta x = B \cdot \Delta t + o(\Delta t) = dx + o(\Delta t).$$

$$dy = A \cdot dx + A \cdot o(\Delta t).$$

Что я делаю не так?

[Xaositect]

Почему Вы думаете, что что-то не так?

[SomePupil]

Потому что в учебниках пишут:

$$\frac {dy}{dx} = f'(x).$$

В моем обозначении:

$$\frac {dy}{dx} = A.$$

Это, как Вы видите, не выполняется.

-- 25.10.2016, 11:27 --

Я, кажется, понял. Подразумевается, что $\Delta t \to 0$? С другой стороны, а с чего бы? Например, если $x$ - независимая переменная, то $\frac {dy}{dx} = f'(x)$ без всяких предельных переходов.

[ewert]

SomePupil в сообщении #1162886 писал(а):

Подразумевается, что $\Delta t \to 0$?

А что Вы, собственно, пытаетесь доказать? Поскольку равенство $\frac{dy}{dx}=f'(x)$ не имеет отношения к инвариантности.

[Xaositect]

А что Вы понимаете под инвариантностью первого дифференциала? Инвариантность не означает, что $dx = \Delta x$. Она означает, что если посчитать $dy$ и $dx$, считая $y$ и $x$ функциями от $t$, то будет $dy = Adx$. Вы же считаете $dy$ исходя из независимой переменной $x$, а $dx$ с независимой $t$.

[SomePupil]

Xaositect в сообщении #1162888 писал(а):

Она означает, что если посчитать $dy$ и $dx$, считая $y$ и $x$ функциями от $t$, то будет $dy = Adx$.

Ах, вот оно какие пирожки бабушка печет!

ewert в сообщении #1162887 писал(а):

Поскольку равенство $\frac{dy}{dx}=f'(x)$ не имеет отношения к инвариантности.

Понял-понял.

Спасибо.

[Padawan]

SomePupil в сообщении #1162883 писал(а):

Возможно, баян, но все же...

Своими руками хотел доказать инвариантность формы первого дифференциала. Взял функции $y(x)$, $x(t)$. Они дифференцируемы в понятно каких точках. Далее:

$$dy = A \cdot \Delta x.$$

$$\Delta x = B \cdot \Delta t + o(\Delta t) = dx + o(\Delta t).$$

$$dy = A \cdot dx + A \cdot o(\Delta t).$$

Что я делаю не так?

Так сделайте:

в $\Delta y = A \cdot \Delta x+\alpha(\Delta x)\cdot |\Delta x|$ ($\alpha(\Delta x)\to 0$ при $\Delta x\to 0$) подставьте $x=x(t)$. Получите $\Delta y=A\cdot dx+\beta(\Delta t)\cdot |\Delta t|$ ($\beta(\Delta t)\to 0$ при $\Delta t\to 0$). Это и значит, что $dy=Adx$.

[ewert]

К инвариантности формы первого дифференциала о-маленькие отношения не имеют, инвариантность -- штука сугубо формальная: $dy(x,\Delta x)=y'(x)\Delta x=y'(x)\,dx$, поскольку $dx(x,\Delta x)=\Delta x$; далее, $dx(t,\Delta t)=x'(t)\Delta t=x'(t)\,dt$; итого (в сокращённой записи) $dy=y'(x)x'(t)\,dt=\big(y(x(t))\big)'\,dt$. Причём совершенно независимо от размерностей. Откуда берётся правило дифференцирования сложной функции -- вопрос отдельный (и предыдущий).

[Padawan]

ewert в сообщении #1163293 писал(а):

Откуда берётся правило дифференцирования сложной функции -- вопрос отдельный (и предыдущий).

Равносильный свойству инвариантности первого дифференциала. Просто другая форма записи.

[ewert]

Padawan в сообщении #1163310 писал(а):

Равносильный свойству инвариантности первого дифференциала.

Конечно, только невыгодно с дифференциалов начинать. Слишком уж формальная штука, и приходится какое-то время привыкать к условностям в обозначениях.