Нелинейные интегральные операторы.

[Sinus]

Рассмотрим интегральное уравнение

$$ x(t) = \int\limits_{z(t)}^t {f(\tau ,t,x(\tau ))d\tau } + u(t) $$

,

$$ [t_0 ;T] $$

, (1)
относительно x(t) на замкнутом промежутке

$$ [t_0 ;T] $$

, где функция

$$ f(\tau ,t,x) $$

задана и непрерывна при

$$ (\tau ,t,x) \in ( - \infty ;T] \times [t_0 ;T] \times [0; + \infty ) $$

и удовлетворяет условию Липшица по

\[ x \]

, p(t), u(t), z(t) заданы и непрерывны при

$$ t \in [t_0 ;T] $$

, функция $x(\tau ) \equiv x_0 (\tau ) > 0$ задана на предыстории

$$ \tau \in ( - \infty ;t_0 ) $$

.
Известно, что оно имеет единственное решение, если все заданные функции положительны на своих областях определения, при

$$ t \in [t_0 ;T] $$

выполнено неравенство z(t)<t, функция

$$ f(\tau ,t,x) $$

удовлетворяет условию Липшица по x.

Меня интересует следующий вопрос. Пусть

$$ x_1 (t),\,x_2 (t) $$

- решения уравнения вида (1) при различных

$$ z_1 (t),\,z_2 (t) $$

, то есть

$$ x_1 (t) = \int\limits_{z_1 (t)}^t {f(\tau ,t,x_1 (\tau ))d\tau } + u(t) $$

,

$$ x_2 (t) = \int\limits_{z_2 (t)}^t {f(\tau ,t,x_2 (\tau ))d\tau } + u(t) $$

,
причем известно, что

$$ z_1 (t) \geqslant z_2 (t) $$

для всех

$$ t \in [t_0 ;T] $$

и функция

$$ f(\tau ,t,x) $$

возрастает по x (необязательно строго). Можно ли утверждать, что тогда обязательно

$$ x_1 (t) \leqslant x_2 (t) $$

? Интуитивно, как мне кажется, очевидно, что

$$ x_1 (t) \leqslant x_2 (t) $$

, однако хотелось бы выяснить, так ли это на самом деле, и какие методы могут использоваться для решения подобных задач.

[maxal]

// перенесено в корень по просьбе автора

[zoo]

если решения получены с помощью принципа сжатых отображений то искомое неравенство должно быть справедливо для каждого последовательного приближения, в любом случае, надо знать как получены решения

[Sinus]

Решение уравнения (1) при заданных условиях могут быть получены с помощью принципа сжимающих отображений, однако для этого сначала нужно разбить отрезок

$$ [t_0 ;T] $$

на достаточно маленькие промежутки
$[t_0 ;t_1 ],\,[t_1 ;t_2 ],...$
так, что бы оператор

$$ Ax(t) = \int\limits_{z(t)}^t {f(\tau ,t,x(\tau ))d\tau } + u(t) $$

был сжимающим на каждом из этих промежутков, и затем последовательно находить решение на этих промежутках.

[zoo]

ну значит остается отметить это неравенство для соответствующих последовательных приближений и перейти к пределу так? что насчет первого приближения?

[Sinus]

Пусть $t_1$ - такое, что на отрезке $[t_0 ;t_1 ]$ операторы

$$ A_1x(t) = \int\limits_{z_1(t)}^t {f(\tau ,t,x(\tau ))d\tau } + u(t) $$

и

$$ A_2x(t) = \int\limits_{z_2(t)}^t {f(\tau ,t,x(\tau ))d\tau } + u(t) $$

,
где при

\[ \tau \le t_0 \]

считаем

\[ x(\tau ) \equiv x_0 (\tau ) \]

, будут сжимающими (существование такого $t_1$ не вызывает сомнений), и пусть $x(t)$ и $y(t)$ - решения интегральных уравнений

\[ x(t) = A_1x(t) \]

,

\[ y(t) = A_2y(t) \]

, то есть

$$ x(t) = \int\limits_{z_1 (t)}^t {f(\tau ,t,x (\tau ))d\tau } + u(t) $$

,

$$ y(t) = \int\limits_{z_2 (t)}^t {f(\tau ,t,y (\tau ))d\tau } + u(t) $$

.

Построим последовательности функций $\left\{ {x_i (t)} \right\}_{i = 0}^\infty $ и $\left\{ {y_i (t)} \right\}_{i = 0}^\infty $, заданных на $[t_0 ;t_1 ]$, таких, что $x_0 (t) = y_0 (t) = 1$, $x_{n + 1} (t) = Ax_n (t)$, $y_{n + 1} (t) = Ay_n (t)$.

Тогда $x_0 (t) \ge y_0 (t)$, и если $x_n (t) \ge y_n (t)$, то

\[ x_{n + 1} (t) = \int\limits_{z_1 (t)}^t {f(\tau ,t,x_n (\tau ))d\tau } \ge \int\limits_{z_2 (t)}^t {f(\tau ,t,x_n (\tau ))d\tau } \ge \int\limits_{z_2 (t)}^t {f(\tau ,t,y_n (\tau ))d\tau } = y_{n + 1} (t) \]

, значит,

\[ \forall n \in {\rm N} \]

выполняется неравенство

\[ x_n (t) \ge y_n (t) \]

. Переходя к пределу, получаем

\[ x(t) \ge y(t) \]

, что и требовалось. Легко видеть, что неравенство

\[ x(t) \ge y(t) \]

будет верным на всем отрезке

$$ [t_0 ;T] $$

.

Zoo спасибо за идею!