Доказательство теоремы Фейербаха

[Rusit8800]

На Всероссийской олимпиаде предлагалась следующая задача:

Проведём через основание биссектрисы угла $A$ разностороннего треугольника $ABC$ отличную от стороны $BC$ касательную к вписанной в треугольник окружности. Точку её касания с окружностью обозначим через $K_a$. Аналогично построим точки $K_b$ и $K_c$. Докажите, что три прямые, соединяющие точки $K_a$, $K_b$ и $K_c$ с серединами сторон $BC$, $CA$ и $AB$ соответственно, имеют общую точку $F$, причём эта точка лежит на вписанной окружности.

Из данной задачи следует теорема Фейербаха(только для вписанной окружности):
При гомотетии с центром в точке $F$, переводящей серединный треугольник в треугольник $K_aK_bK_c$, окружность 9-ти точек переходит во вписанную. Но $F$ их общая точка, следовательно, эти окружности касаются в точке $F$.

Но это только "часть" теоремы Фейербаха, остались аналогичные утверждения про вневписанные окружности.Вообще, я заметил, что во многих доказательствах теоремы Фейербаха присутствует только доказательство для вписанной окружности.Предполагаю, что из касания вписанной окружности и 9-ти точек можно легко это доказать,например, применив гомотетию и поэтому это доказательство опускают.Однако, что-то я не могу провести такую "хитрую" гомотетию.Пробовал только переводить вписанную окружность во вневписанную с центром гомотетии в точке, противолежащей к стороне, к которой проведена эта вневписанная окружность , но это ничего не дало, т.к. центр этой гомотетии не расположен ни на вневписанной окр., ни на 9-ти точек.Дайте,пожалуйста, указание к решению.Важно, чтобы в решении применялась гомотетия.

-- 22.10.2016, 20:07 --

Если нужно, решение этой задачи здесь http://geometry.ru/articles/sharyginfeuerbach.pdf

[VAL]

С удивлением не обнаружил на полке книжку Коксетера и Грейтцера "Новые встречи с геометрией" Но, насколько я помню, там дается именно то доказательство, которое Вы ищете.

PS: Или там через инверсию доказывается...

[Rusit8800]

VAL в сообщении #1162015 писал(а):

PS: Или там через инверсию доказывается...

Именно так.А мне бы через гомотетию как-нибудь...

[Rusit8800]

В геометрической программе Geogebra натолкнулся на следующее свойство, с помощью которого можно доказать теорему Фейербаха: Пусть дан треугольник $ABC$, внешние биссектрисы углов $C$ и $B$ пересекаются с продолжениями сторон $AC$ и $AB$ в точках $K_1; K_2$. Из них проведены касательные к вневписанной окружности, которая лежит напротив угла $A$, причем они(касательные) отличны от $AC$ и $AB$, точки касания обозначим $D_1;D_2$ Тогда прямая, проходящая через точку $D_1$ и соответствующую ей середину стороны треугольника, а также прямая, проходящая через точку $D_2$ и соответствующую ей середину стороны треугольника пересекаются в точке $F$, которая лежит на вневписанной окружности.Если доказать это свойство и гомотетичность некоторых треугольников, то теорема Фейербаха будет доказана(У этих треугольников центр гомотетии в точке $F$, причем это их общая точка, значит и у их описанных окружностей будет ровно 1 общая точка, а эти описанные окружности - вневписанная и 9-ти точек).