Сложение вероятностей

[AlexanderL]

Речь пойдёт о сложении вероятностей при оценке рисков в случае так называемых многофакторных заболеваний. Чтобы не распространяться на отдельную тему, попробую всё свести к аналогичной, как мне кажется, и более понятной задаче:
При встрече с пьяницей риск получить по голове составляет 10%. как правильно оценить риск получить по голове при встрече с двумя пьяницами, если учитывать, что при встрече с 20 пьяницами риск явно не составляет 2, а всё же находится ниже 1 (т.е. по голове дадут необязательно)? обратите внимание, что риск самой встречи с пьяницей не рассматривается - встреча уже состоялась! Пьяницы в принципе могут обладать разными рисками дать по голове.
У меня есть такое решение: a - риск получить по голове от пьяницы1, b - от пьяницы2. тогда общий риск: (a+b)/(1+(a+b)/2). не буду пока писать объяснений по формуле - возможно я пытаюсь открыть Америку и уже существует общее решение для такого класса задач.[/math]

[MaximKat]

$p(A+B)=1-p(\overline{A+B})=1-p(\overline{A}\cap\overline{B})$
если события независимы, то получается $p(A+B)=1-p(\overline{A})p(\overline{B})=1-(1-p(A))(1-p(B))=p(A)+p(B)-p(A)p(B)$

для большего числа событий - формула включений-исключений

[AlexanderL]

Спасибо! На самом деле, не потрудившись вывести эту формулу, как это сделали Вы, я смотрел на готовый результат и он мне был не очень понятен: в этом выражении остается ли смысл за p(A)p(B) как "вероятность одновременного происшествия событий А и В"? или это исключительно математическое слагаемое, а физические смысл имеет только полное выражение? С простыми выведениями формул в вашем посте, конечно, не поспоришь, но очень хочется видеть на каждом шагу физический смысл. И мне ещё непонятно, где ошибка в моих рассуждениях: я полагал, что если всё поле возможных вариантов равно 100, а вариантов получить по голове - 10, то при добавлении к ним ещё, например, 15 ведёт к увеличению общего числа вариантов до 115. таким образом доля вариантов получить по голове становится 25/115. проблема была в том, что ситуация зависела от того, добавлялись ли 15 к 10 или 10 к 15 (25/115 и 25/110 соотвественно). в принципе такое неравноправие может отражать разницу поведения реальных объектов (в нашем случае пьяниц), но она в настоящее время неизвестна. поэтому, чтобы обойти такого рода асимметрию (возможно, реально существующую), я взял среднее арифметическое - 100+(15+10)/2=112,5. так и получилась приведенная выше формула.
а фокус ещё и в том, что полная система сложнее, но её описания нет в принципе (могут встречаться ещё полицейские, бандиты и просто прохожие), поэтому моя "неправильная" формула может на практике давать даже более правильный ответ, но если в ней есть откровенная ахинея, то хотелось бы это знать

[MaximKat]

Пожалуй я немножко перемудрил с формулами, можно проще объяснить
Для двух событий: смотрим картинку, из нее видно, что в $p(A)+p(B)$ общая часть считается дважды, т.е. $p(A)+p(B)=p(A+B)+p(A\cap B)$, откуда $p(A+B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)$. Так что смысл последнего слагаемого как раз "вероятность одновременного происшествия событий А и В"

Добавлено спустя 22 минуты 13 секунд:

А в Ваших рассуждениях ошибка в "при добавлении к ним ещё, например, 15 ведёт к увеличению общего числа вариантов до 115"
Так складывать вероятности нельзя. Эти 15 - это же не новые 15 случаев, а все равно часть "поля возможных вариантов", т.е. они в этих 100 изначальных уже учтены. Так что прибавлять 100+15 не надо. Другое дело, что и складывать 15+10 тоже нельзя,т.к. некоторые случаи могут быть общие в 10 и в 15, поэтому см. начало поста и картинку:)

[AlexanderL]

Только запутали картинкой С математическими выведениями было по крайней мере формально всё ясно. ...Впрочем, идея вычесть варианты огрести сразу от двух пьяниц мне нравится. Жаль только, так и не могу понять ошибочность своих первоначальных рассуждений.
А вообще это большая и абсолютно нерешенная проблема - расчет индивидуального риска развития многофакторного заболевания (например, инфаркта миокарда) с учетом множества параметров: семейной истории заболевания, популяционной частоты заболевания, обнаруженных генетических и внешнесредовых факторов риска, что важно, взаимодействующих между собой, и, наконец, еще неоткрытых факторов риска...
Если у кого-то есть желание серьёзно поработать в этом направлении можно организовать целое направление исследований.

Добавлено спустя 15 минут 12 секунд:

чуток опоздал. интересная добавка. я всё пытаюсь найти для себя наиболее удобные примеры и насколько я понимаю полным эквивалентом задачи является вытаскивание белых шаров из двух мешков с черными и белыми шарами - вероятность вытаскивания белого шара из любого из двух мешков есть вероятность, рассчитываемая в приведенный вами формуле. но разве ничего не меняется, если наложено ограничение - полная невозможность вытащить два белых шара (по шару из каждого мешка)?! в примере с шарами и пьяницами, возможность/необходимость наложения этого ограничения, как я теперь вижу, неочевидна. но в случае с заболеваниями - нельзя заболеть одним и тем же два раза (в данном контексте опять же), даже если факторов риска заболеть два.

[shwedka]

AlexanderL

Цитата:

Если у кого-то есть желание серьёзно поработать в этом направлении можно организовать целое направление исследований.

У Вас есть база, финансирование??

[Henrylee]

AlexanderL писал(а):

но в случае с заболеваниями - нельзя заболеть одним и тем же два раза (в данном контексте опять же), даже если факторов риска заболеть два.

Одним и тем же нельзя, но из-за обоих факторов можно?

[AlexanderL]

To shwedka
База, насколько я понимаю, при работе в данном направлении подразумевает наличие компьютеров - это есть. Нет самого главного - людей. Математическая лаборатория была недавно закрыта из-за внезапной смерти руководителя, у которого не было сильной команды (сам он и был командой). Новых кандидатов не нашлось. Поэтому в перспективе - открытие новой лаборатории. Финансирование, соответственно, надо получать через гранты, на голом бюджете сидеть невозможно.
To Henrylee
из-за обоих факторов, конечно, можно. разве это то же самое, что "достать одновремено два белых шара"?

[MaximKat]

"достать белый шар" = "фактор привел к болезни"
"достать 2 белых шара" = "2 фактора привели к болезни"

[Henrylee]

MaximKat писал(а):

"достать белый шар" = "фактор привел к болезни"
"достать 2 белых шара" = "2 фактора привели к болезни"

Продолжу.
"достать хотя бы один белый шар"="болезнь случилась" (то есть по крайней мере один из факторов сработал)
"достать ровно один белый шар"="только один из факторов привел к болезни"