Определения производной и их эквивалентность.

[Duelist]

В литературе даются разные определения производной. В изложениях как-то много вольностей. Мне не достаёт строгости для ясного понимания. Конечно, я уже проходил производную в школе, и раньше всё казалось понятным. Теперь же, как ни парадоксально, когда я изучил, например, основы абстрактной алгебры, топологии и некоторых других наук, мне сложнее. Интуитивно я помню и понимаю, конечно, производную. Я про работу с определениями и доказательствами.

Начав разбираться, я написал два определения производной, которые обычно приводятся в литературе, и доказал их эквивалентность. Прошу проверить, всё ли правильно. И посоветовать, что с этим делать, и как быть.

Пусть функция $f:A \to \mathbb{R},$ $A \subset \mathbb{R}$ определена в $\varepsilon$-окрестности $U$ точки $x_0 \in U$.

I. Пусть функция $R: \mathring{U} \to \mathbb{R}$ определена в проколотой $\varepsilon$-окрестности $\mathring{U}$ точки $x_0,$ $R(x) = \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0},$ причём $R$ имеет предел в точке $x_0$, равный $c.$ Тогда $c$ называется производной ф-ии $f$ в точке $x_0.$

II. Пусть функция $R_1: \mathring{V} \to \mathbb{R}$ определена в проколотой $\varepsilon$-окрестности $\mathring{V}$ точки $0,$ $R_1(h) = \frac{f(h+x_0)-f(x_0)}{h},$ причём $R_1$ имеет предел в точке $0$, равный $c.$ Тогда $c$ называется производной ф-ии $f$ в точке $x_0.$

Докажем эквивалентность определений.

1. Определим отображение $T: \mathring{U} \to \mathring{V},$ $T(x)=x-x_0.$ Легко проверить, что $T$ биективно, строго монотонно, непрерывно, и следовательно является гомеоморфизмом проколотых $\varepsilon$-окрестностей.

Легко убедиться в том, что $R: \mathring{U} \to \mathbb{R}$ есть композиция $R_1 \circ T: \mathring{U} \to \mathbb{R}$.

2. Докажем, что существует предел $\lim\limits_{x \to x_0} R(x) = c$ титтк существует предел $\lim\limits_{h \to 0} R_1(h) = c.$

1) Пусть $\widetilde{R_1 \circ T} = \begin{cases} R_1 \circ T(x),& x \in \mathring{U} \\ c,& x=x_0 \end{cases}$ непрерывна в точке $x_0.$ Нужно д-ть, что $\tilde{R_1} = \begin{cases} R_1(h),& h \in \mathring{v} \\ c,& h=0 \end{cases}$ непрерывна в точке $0.$

Из непрерывности $\widetilde{R_1 \circ T}$ в $x_0$ следует, что для любой $\varepsilon$-окрестности $U_\varepsilon$ точки $c$ существует проколотая $\delta$-окрестность $\mathring{V_\delta}$ точки $0,$ $R_1(\mathring{V_\delta}) \subset U_\varepsilon \ni c.$ Отсюда следует, что для любой $\varepsilon$-окрестности $U_\varepsilon$ точки $c$ существует $\delta$-окрестность $V_\delta$ точки $0$ такая, что $\tilde{R_1}(V_\delta) \subset U_\varepsilon \ni c.$ Значит $\tilde{R_1}$ непрерывна в точке $0,$ откуда следует, что существует предел $\lim\limits_{h \to 0} R_1(h) = c.$

2) Пусть $\tilde{R_1} = \begin{cases} R_1(h),& h \in \mathring{V} \\ c,& h=0 \end{cases}$ непрерывна в точке $0.$ Нужно д-ть, что $\widetilde{R_1 \circ T} = \begin{cases} R_1 \circ T(x),& x \in \mathring{U} \\ c,& x=x_0 \end{cases}$ непрерывна в точке $x_0.$

Из непрерывности $\tilde{R_1}$ в точке $0$ следует, что для любой $\varepsilon$-окрестности $U_\varepsilon$ точки $c$ существует $\delta$-окрестность $V_\delta$ точки $0,$ $\tilde{R_1}(V_\delta) \subset U_\varepsilon \ni c.$ Отсюда следует, что $R_1(\mathring{V_\delta}) \subset U_\varepsilon \ni c.$ $T^{-1}(\mathring{V_\delta})=\mathring{W_\delta}$ - открытая проколотая $\delta$-окрестность точки $x_0.$ Тогда $\widetilde{R_1 \circ T}(W_\delta) \subset U_\varepsilon \ni c,$ где $W_\delta=\mathring{W_\delta} \cup \{x_0\}.$ Следовательно $\widetilde{R_1 \circ T}$ непрерывна в $x_0,$ откуда следует, что существует предел $\lim\limits_{x \to x_0} R(x) = c.$

[Anton_Peplov]

Duelist в сообщении #1162072 писал(а):

Тогда $c$ называется пределом ф-ии $f$ в точке $x_0$.

Быть может, все-таки производной?

[Duelist]

Anton_Peplov
Спасибо, исправил.

[Otta]

Duelist
:) Вы переплюнули Бурбаки, наверное.

Если бы курс анализа останавливался каждый раз на обосновании корректности линейных замен, на матфаке обучение длилось бы лет так до сорока.

Коль Вам так уж хочется отнестись к этому со всей серьезностью, используйте теорему о пределе композиции. Которая, в частности, говорит, что если $\lim_{y\to a} f(y) = A$, и $g$ -функция, непрерывная в точке $b$, такая, что $g(b)=a$, то и $\lim_{x\to b} f(g(x)) = A$. Коротко говоря, непрерывную замену всегда можно делать. А у Вас линейная.

(Результат из предыдущего абзаца, кстати, доказывается в две строчки.)

[Duelist]

Otta
Правильно ли я понял, что в условия теоремы, которую Вы привели, нужно добавить, что, если $f$ не определена в точке $a$ (хотя имеет в ней предел), то существует окрестность точки $b:$ $U_b$ - такая, что для любого $x \in U_b$ $g(x) \neq a?$

Я доказал Вашу теорему с таким условием. И в случае с заменой для производной в первом посте это условие выполняется.

[ex-math]

Duelist
Правильным будет такое условие: $f $ и $g$ имеют соответствующие пределы и либо $f $ непрерывна в точке $a $, либо выполнено то, что Вы написали.

[Otta]

Duelist
Да, ex-math правильно сказал. Если непрерывность - то внешней функции. Это у меня ночной сбой. Накосячила, извиняюсь.

Полное условие теоремы, как мне она помнится (вроде она везде есть):
Если $\lim_{y\to a} f(y) = A$, и $\lim_{x\to b} g(x)=a$, и либо
1) $f$ -функция, непрерывная в точке $a$,
либо
2) в некоторой проколотой окрестности точки $b\; g(x)\ne a$,

то и $\lim_{x\to b} f(g(x)) = A$.

И выполняется действительно второй пункт.
Просто непрерывная замена может и подвести, контрпример строится. А вот линейная - очевидно, нет.

[Duelist]

Otta ex-math
Спасибо.

[ewert]

Дело даже не в линейности замены, а в том, что это -- просто сдвиг. Поэтому эквивалентны эти определения непосредственно по определению предела. Например, по Гейне: если $h_n=x_n-x_0$, то $x_n\to x_0,\ x_n\neq x_0$ $\Leftrightarrow$ $h_n\to 0,\ h_n\neq 0$. Поэтому $\exists\lim\limits_{n\to\infty}R(x_n)=c$ $\Leftrightarrow$ $\exists\lim\limits_{n\to\infty}R_1(h_n)=c$. Ну и по Коши получается не менее в лоб; в общем, это не из тех моментов, на которые стоит обращать внимание.

[Duelist]

ewert
Там док-во тоже по определению предела. Просто определение несколько обобщённое используется. Оно годится для любой топологии. Теорема о единственности предела будет выполняться для предела в неизолированной точке при отображении в хаусдорфово топологическое пр-во.

[ewert]

Duelist в сообщении #1162249 писал(а):

Просто определение несколько обобщённое используется.

А какой смысл применять общие определения по столь частному поводу, как производная функции одной переменной?

[Duelist]

ewert в сообщении #1162253 писал(а):

А какой смысл применять общие определения по столь частному поводу, как производная функции одной переменной?

Привычка. В книге, по которой я самостоятельно начинал изучать анализ (Лекции по мат. анализу С.М. Львовского) другого определения и не давалось. Хотя я знаю частные определения.

[Otta]

ewert
Согласна, просто по определению гораздо естественней. Не все их любят. :)
На самом деле, по сути, начало координат переткнули в другую точку. Поведение функции от этого не изменится.

[ewert]

Duelist в сообщении #1162254 писал(а):

В книге, по которой я самостоятельно начинал изучать анализ (Лекции по мат. анализу С.М. Львовского) другого определения и не давалось.

Какого "другого"?... У Львовского определение производной -- вполне классическое, безо всякой топологической зауми. Перед этим, в пределах, оная заумь присутствует, но в связи с производными он от неё благоразумно отказывается.

[Duelist]

ewert в сообщении #1162308 писал(а):

Какого "другого"?... У Львовского определение производной -- вполне классическое, безо всякой топологической зауми. Перед этим, в пределах, оная заумь присутствует, но в связи с производными он от неё благоразумно отказывается.

Речь уже шла об определении предела, а не производной. Я и имел в виду "другое" определение предела.

ewert в сообщении #1162241 писал(а):

Поэтому эквивалентны эти определения непосредственно по определению предела.

Duelist в сообщении #1162249 писал(а):

Там док-во тоже по определению предела. Просто определение несколько обобщённое используется. Оно годится для любой топологии.

И так далее.