Формула Тейлора от функции, заданной неявно

[camprier]

Добрый день.
Нужно разложить неявную функцию $y(x)$ по формуле Тейлора в точке $x_0$ с точностью до $o(x-x_0)^3$
$ye^y+y^2-x=0$, $x_0=0,f(x_0)=0$

Если я считаю все производные как производные неявной функции, то в ответе получается выражение, зависящее от $y$. Нормально ли это?

[mihaild]

Нет, коэффициенты разложения должны быть постоянны. Т.е. вы должны получить ответ в виде $y(x) = \sum\limits_{i=0}^k a_i \cdot (x - x_i) + o(x - x_0)^3$, где $a_i$ - числа.

[camprier]

Это печально. Как тогда к этому подступиться?

[Dan B-Yallay]

camprier в сообщении #1161969 писал(а):

Как тогда к этому подступиться?

Покажите сначала, что у Вас получается с производными и в "ответе зависящем от $y$".

[dsge]

Коэффициенты - неизвестные, которые надо найти. Хотя один уже известен.

[camprier]

Хм. Странно. Получается $y'_x=\frac{1}{e^y+ye^y+2y}, а все дальнейшие производные по $x$ равны нулю. То есть разложение: $y(x) = 0+y'_x(0)x+0=x$

[dsge]

Подставьте сумму в исходное уравнение.

[mihaild]

camprier в сообщении #1161980 писал(а):

а все дальнейшие производные по $x$ равны нулю

Почему? (очевидно, что функция нелинейная, так что так быть не должно)

[camprier]

mihaild в сообщении #1161986 писал(а):

Почему? (очевидно, что функция нелинейная, так что так быть не должно)

Может, я что-то не так считаю. Но получилось выражение для $y'_x$, не зависящее от $x$. То есть дальнешие производные - ноль.

[mihaild]

camprier в сообщении #1161990 писал(а):

Но получилось выражение для $y'_x$, не зависящее от $x$.

Всегда можно получить выражение $y = y$. И что, все функции постоянные?

[camprier]

mihaild в сообщении #1161992 писал(а):

camprier в сообщении #1161990 писал(а):

Но получилось выражение для $y'_x$, не зависящее от $x$.

Всегда можно получить выражение $y = y$. И что, все функции постоянные?

Да, действительно. Но как тогда сосчитать следующие производные?

[mihaild]

Честно продифференцировать. Если бы было написано $y(x) = e^{g(x)}$, то как бы вы считали $\frac{\partial y}{\partial x}$? Нужно сделать то же самое, только вместо экспоненты подставить ту получившуюся дробь, а вместо $g(x)$ - $y(x)$.

[Someone]

camprier в сообщении #1161969 писал(а):

Это печально. Как тогда к этому подступиться?

Начните с того, что напишите формулу Тейлора с точностью до $o(x-x_0)^3$. Потом посчитайте производные и подставьте их в формулу. Их всего-то две штуки надо посчитать.