Задачка о маленьком принце или планетоходе

[nikanykey]

Задачка родилась, попытаюсь сформулировать ее
Маленький принц жил на маленьком астероиде, и однажды решил прогуляться прямо никуда не сворачивая, но поскольку одна нога чуточку короче другой (у Всех людей между прочим) он постоянно отклонялся влево (или вправо)

Требуется построить параметрическую функцию радиус-вектора местоположения маленького принца от времени, в системе координат планетоида, если он например начал двигаться с полюса по нулевому меридиану.
Известно, что планета абсолютно круглая радиуса R, и если бы он двигался по абсолютно плоской поверхности, нарезал бы круг диаметром D
Можно и видоизменить условие, пускай это будет планетоход у которого левая пара колес чуточку меньше.

Интересны не предельные случаи R>>D или D>>R , а именно близкие значения этих параметров, при каких соотношениях будут получаться полностью замкнутые кривые.

[svv]

Если планета круглая, то кривые будут замкнутыми, потому что это будут просто окружности (пересечение сферы с плоскостью).Чтобы показать это, я опишу решение, и мы проверим, что это решение.

Пусть планетоход движется по параллели (не по меридиану!). Это означает, что левые колёса и правые колёса на самом деле движутся по двум близким параллелям. Пусть «правая» параллель в $k$ раз длиннее «левой». Тогда на каждом участке пути правая пара колёс будет проходить путь в $k$ раз больший, чем левая. Пусть радиус правых колёс в $k$ раз больше, чем левых колёс. Тогда правые колёса на любом участке пути сделают столько же оборотов, сколько и левые, что и требуется. Остаётся показать, что некоторые две близкие параллели могут реализовать любое нужное $k$.

Если планетоход-кривоножка едет не по этой параллели, а по другой линии, можно изменить систему координат так, что он в новых координатах будет двигаться по параллели.

[nikanykey]

svv в сообщении #1161904 писал(а):

Если планета круглая, то кривые будут замкнутыми, потому что это будут просто окружности (пересечение сферы с плоскостью).Чтобы показать это, я опишу решение, и мы проверим, что это решение.

Пусть планетоход движется по параллели (не по меридиану!). Это означает, что левые колёса и правые колёса на самом деле движутся по двум близким параллелям. Пусть «правая» параллель в $k$ раз длиннее «левой». Тогда на каждом участке пути правая пара колёс будет проходить путь в $k$ раз больший, чем левая. Пусть радиус правых колёс в $k$ раз больше, чем левых колёс. Тогда правые колёса на любом участке пути сделают столько же оборотов, сколько и левые, что и требуется. Остаётся показать, что некоторые две близкие параллели могут реализовать любое нужное $k$.

Если планетоход-кривоножка едет не по этой параллели, а по другой линии, можно изменить систему координат так, что он в новых координатах будет двигаться по параллели.

Красивое рассуждение, и для R>D/2 очевидно, что эти параллели находятся в одном полушарии от экватора, но тогда получается если кривоногость меньше , т.е. R<D/2 то планетоход имеющий ненулевую ширину будет просто двигаться по экватору, причем левая и правая половина будут в разных полушариях.

Конечно же "экватор" в понимании замкнутой геодезической линии.

[svv]

Да.

А в случае произвольной гладкой поверхности траектория планетохода или маленькой принцессы удовлетворяет такому условию: у этой кривой постоянная тангенциальная кривизна (она же геодезическая кривизна). Конечно, теперь траектория уже не обязана быть замкнутой...

У геодезических же («экваторов») тангенциальная кривизна равна нулю.