Линейное пространство

[Joe Black]

Образуют ли линейное пространство матрицы, перестановочные с данной: $A=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$,
то есть $AB=BA$

$B=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$

после решения системы уравнений:

$B=\begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}$

К примеру: $B_1=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ , $B_2=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$

Таким образом они не образуют линейное пространство, т.к нельзя по ним разложить к примеру матрицу:

$C=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

Верно?

[Dan B-Yallay]

Дайте определение линейного пространства.

[Joe Black]

Допустим это множество матриц вида $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ , где $a, b, c, d \in \mathbb{R}$ и плюс выполняются коммутативность и ассоциативность сложения, умножения на число и единицу

[Brukvalub]

Dan B-Yallay в сообщении #1161781 писал(а):

Дайте определение линейного пространства.

Joe Black в сообщении #1161785 писал(а):

Допустим это множество матриц вида $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ , где $a, b, c, d \in \mathbb{R}$ и плюс выполняются коммутативность и ассоциативность сложения, умножения на число и единицу

[Joe Black]

Линейное пространство - это множество, назовём S, для которого выполняются следующие условия

1) S не пустое

2) $\forall x,y,z \in S$

Коммутативность сложения: $x+y=y+x$

Ассоциативность сложения: $x+(y+z)=(x+y)+z$

Есть нулевой элемент: $x+0=0+x=x$

Есть обратный элемент: $\forall x \in S \Rightarrow \exists y \in S : x+y=y+x=0$

3) Пусть $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$, тогда:

$\alpha (\beta x)=(\alpha \beta) x$

$(\alpha + \beta)x=\alpha x + \beta x$

$\alpha(x+y)=\alpha x + \alpha y$

$1 \cdot x = x \cdot 1 = x$

Очевидно м-цы заданные B образуют линейное пространство

базис этого пространства: $B_1=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ , $B_2=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$

таким образом его размерность 2

верно?

[Dan B-Yallay]

Joe Black в сообщении #1161793 писал(а):

Ну да, не силён

А что мешает?

[arseniiv]

Joe Black в сообщении #1161779 писал(а):

после решения системы уравнений:

Можно было вообще ничего не решать. Это станет ясно после определения.

[Lia]

Joe Black
Откройте учебник, прочитайте определение, примените, если останутся вопросы, задайте, приведя содержательные попытки решения.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

К правке доступно последнее сообщение ТС.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Otta]

Joe Black
А зачем Вы базис ищете? Вас просили?
Для основной задачи - достаточно определения.

[Joe Black]

Да, там еще просили размерность найти и базис

[Otta]

А, ну тогда ладно.

[svv]

Сначала нужно показать, что такие матрицы образуют линейное пространство. Судя по этой фразе, Вы пока не поняли, что это значит:

Joe Black в сообщении #1161779 писал(а):

Таким образом они не образуют линейное пространство, т.к нельзя по ним разложить к примеру матрицу:

«Они» же почему просят Вас уточнить определение: потому что там перечислены свойства, проверка которых необходима и достаточна для ответа на вопрос. В начале определения идут самые важные свойства, которые часто в подобных задачах не выполняются, а Вы не хотите на них взглянуть — видимо, считаете, что они выполняются автоматически.

Известно, что

Цитата:

Множество всех матриц размером $n\times m$ с элементами из поля $K$ и поэлементными правилами сложения и умножения на скаляры из поля $K$... образует линейное пространство. Это линейное пространство обозначается через $K^n_m$

Довольно очевидно, что проверка выполнения свойств, которые Вы перечислили в пунктах 2, 3, для некоторого подмножества $K^n_m$ (например, для множества матриц, перестановочных с данной), ничем не отличается от проверки этих свойств для самого $K^n_m$.

Но это же ещё не все свойства, которые надо проверить! Далеко не все подмножества множества матриц данного размера над данным полем образуют линейное пространство. Где часто происходит осечка?

[ewert]

svv в сообщении #1162909 писал(а):

Но это же ещё не все свойства, которые надо проверить!

Лучше сказать наоборот: это -- те свойства, которые проверять как раз не нужно. А нужно проверять совсем другое...