Два с половиной вопроса о различных математических традициях

[arseniiv]

статья писал(а):

We may remark that etymologically “incomplete infinity” is a redundant phrase, since the very word infinite means unfinished.

Вот почему я не люблю такие слова? Да, этимология, судя по словарю, верна, а вот смысл предиката «etymologically (1) is a redundant phrase» от меня ускользает.

Читаем дальше.

-- Ср окт 19, 2016 06:04:01 --

далее писал(а):

For 6, let $x$ and $z$ be additive numbers, and let $y$ be any counting number. By definition 1, we need to show that $(x+z)+y$ is a counting number. Now $z+y$ is a counting number, by definition 1, so $x+(z+y)$ is a counting number, again by definition 1. But $x+(z+y) = (x+z)+y$.

Последнее равенство не доказать без индукции на counting number’ах, даже если взять конкретные $x, z$. И, главное, выше автор замечал, что индукция в подобных случаях бывает необходимой. А тут забыл.

-- Ср окт 19, 2016 06:32:27 --

А так смутных претензий куда больше, чем ясных. В общем,

под конец писал(а):

In conclusion, regarding the numbers as an incomplete infinity offers a viable and interesting alternative to regarding the numbers as a completed infinity, one that leads to great simplifications in some areas of mathematics and that has strong connections with problems of computational complexity.

не убедил. Насколько я понимаю, те вещи про рекурсию и полиномиальную сложность из ссылок формулируются вполне ясно и в обычных декорациях, а также вполне наверняка потребуют матиндукции. Которая единственное значимое различие, насколько вижу. И, кстати говоря, различные арифметики без индукции рассматривались уже давно, и в рамках самой обычной матлогики.

[grizzly]

arseniiv в сообщении #1161011 писал(а):

смысл предиката «etymologically (1) is a redundant phrase» от меня ускользает.

Не понял, в чём затруднение в расшифровке смысла сказанного (безотносительно истинности утверждаемого). Ведь он объясняет: и то и другое означает "незавершённый". Это, конечно, не хуже чем "информационные IT-технологии", но из этой серии.

Всё же я не постесняюсь уточнить с целью создания правильной интуитивной картинки в мозгах (мы находимся в ZFбезC, конечно):
Существует разница между (P) и (А) взглядами / подходами? (Согласен называть их другими словами, не вводя новых сущностей, мне это не суть важно.)
Если "да", можно ли в первом приближении считать, что разница между (A) и (P) примерно соответствует разнице между следующими двумя определениями:

Someone в сообщении #531638 писал(а):

Существуют два различных и, вообще говоря, неэквивалентных определения бесконечного множества.
1) Множество называется бесконечным, если оно не равномощно никакому натуральному числу (натуральный ряд начинаем с нуля, $0=\varnothing$, $n+1=n\cup\{n\}$).
2) Множество называется бесконечным по Дедекинду, если оно равномощно своему собственному подмножеству (собственным подмножеством множества $A$ называется любое его подмножество, не совпадающее с самим $A$).

[arseniiv]

(Оффтоп)

grizzly в сообщении #1161089 писал(а):

Не понял, в чём затруднение в расшифровке смысла сказанного (безотносительно истинности утверждаемого). Ведь он объясняет: и то и другое означает "незавершённый". Это, конечно, не хуже чем "информационные IT-технологии", но из этой серии.

В современном английском языке (in)finite уже не воспринимается как имеющий смысл (не)завершённый, только как (бес)конечный, (не)ограниченный, и ещё есть финитные формы глагола. Также латынь — не современный международный язык (это про отличия от IT-технологий и CD-дисков). Для меня отличий достаточно.

Я лучше во избежание недоразумений не буду отвечать, т. к. недостаточно понимаю, что автор имел под вторым взглядом. Зато можно написать об индуктивных множествах. Про его counting numbers до введения остальных как раз не известно ничего кроме того, что это индуктивное множество. Натуральные числа — это пересечение всех индуктивных множеств, так что counting numbers не может быть меньше натуральных. Потом он начинает накладывать ограничения с помощью additive numbers, multiplicative numbers, но использует недоказуемые ассоциативность сложения и умножения. Повествование уходит дальше, а проблема, делающая идею недоформулированной, остаётся. Я не знаю, что тут можно вообще сказать.

[Xaositect]

Нельсон ультрафинитист, у него подробно все описано в его "Predicative arithmetic". Ассоциативность у него аксиома (точнее, потом он ее встраивает в определения, которые соответствуют аддитивным и мультипликативным числам в рассматриваемой статье, но по сути ему все равно она нужна в предположениях).

grizzly в сообщении #1161089 писал(а):

Если "да", можно ли в первом приближении считать, что разница между (A) и (P) примерно соответствует разнице между следующими двумя определениями:

Нет, это совсем другое.

[arseniiv]

Xaositect в сообщении #1161183 писал(а):

Нельсон ультрафинитист, у него подробно все описано в его "Predicative arithmetic". Ассоциативность у него аксиома (точнее, потом он ее встраивает в определения, которые соответствуют аддитивным и мультипликативным числам в рассматриваемой статье, но по сути ему все равно она нужна в предположениях).

Я-асно, что дело тёмное.

[grizzly]

arseniiv, Xaositect
Спасибо.

Xaositect в сообщении #1161183 писал(а):

Нет, это совсем другое.

Да, я понял.

[Munin]

grizzly в сообщении #1161089 писал(а):

Ведь он объясняет: и то и другое означает "незавершённый".

Что, увы, враньё.

[arseniiv]

Нет, почему, см. https://en.wiktionary.org/wiki/finitus#Latin, к которому сводят англ. finite. Есть и значение «завершённый».

-- Чт окт 20, 2016 01:09:28 --

Вообще, с моей стороны было не очень онтопно выделять цитату об этимологии. Она не меняет смысла статьи, хотя по моим меркам она и лишнее бесполезное отступление.

[Munin]

А вот здесь: https://en.wiktionary.org/wiki/infinity#English - написано, что сводят к https://en.wiktionary.org/wiki/infinitas#Latin , что имеет совсем другой смысл.

[arseniiv]

Ну так это же форма слова infinitus, которое регулярно образовано от finitus — может, там у первого и отрицания остальных значений последнего есть? Впрочем, настаивать не мне. Вдруг у латинской приставки in- есть какие-то особенности, я не в курсе.

[Munin]

arseniiv в сообщении #1161240 писал(а):

Ну так это же форма слова infinitus

Нет, это небольшое враньё в Викисловаре, смотрите предыдущую ссылку. Омонимичны infinitas - существительное (см. суффикс -tas) и прилагательное (нач. форма infinitus). Прилагательное может происходить от глагола finio, а вот существительное - непосредственно от существительного finis. И никакого процессуального оттенка в его смысле нет. Не "не было закончено", а просто "не имеющее конца".

[arseniiv]

(Оффтоп)

А где найти, на какие словари он ссылается насчёт этимологий?

[Munin]

(Оффтоп)

Боюсь, если ссылки нет, то нигде.

[grizzly]

(Оффтоп)

Ну, чисто теоретически, e-mail в открытом доступе найти несложно и найти повод связаться тоже :)

[grizzly]

Поискал в каких-то твёрдых изданиях. Вот здесь, например. В общем, я считаю, что Munin однозначно прав.

Я подумал, что, может быть, автор имел в виду какое-то историческое развитие самого понятия -- вроде того, что сперва бесконечность воспринималась только как неограниченность процесса деления/продолжения пространства/времени. Но не нашёл оснований даже к такой точке зрения. Здесьисторик математики говорит, что греческий апейрон уже существовал, параллельно представлениям о конечности пространства и делимости пространства/времени. А более ранние достоверные сведения отсутствуют.