Теория случайных процессов

[Jesus_in_Vegas]

Здравствуйте, помогите пожалуйста решить конкретный пример, читаю теорию и все равно плохо понимаю что к чему.
Нужно найти распределение 1 и 2 порядка.
К примеру для такого процесса:
$\xi=\alpha+\beta\cdot t$, где $\alpha, \beta = N[0,1]$ .

Следуя из условия любое сечение процесса так же является нормальной сл.вел, но с параметрами $m=0, \sigma=\sqrt{1+t^2}$.
Соответственно из этого мне уже известно одномерное распределение, это просто плотность нормальной сл. вел. с заданными параметрами, это ясно.

Но, для нахождения двумерного закона распределения мне нужно выяснить зависимы ли сечения данного процесса?
Как это узнать?
Ведь если независимы, то мы просто перемножаем з.р. сечений, но если зависимы, то закон распределения есть вероятность:
$P\left\lbrace\xi_{t}=u, \xi_{\tau}=v\right\rbrace=P\left\lbrace\xi_{t}=u\mid\xi_{\tau}=v\right\rbrace\cdot P\left\lbrace\xi_{\tau}=v\right\rbrace$
и как ее в таком случае вычислять?

[DeBill]

Jesus_in_Vegas в сообщении #1161066 писал(а):

К примеру для такого процесса:
$\xi=\alpha+\beta\cdot t$, где $\alpha, \beta = N[0,1]$ .

Недостаточно данных. Надо знать совместное распределение $\alpha,\beta$. Может, они независимы?

[Jesus_in_Vegas]

DeBill
да, они независимы!
А зачем нам их совместное распределение? нам же нужно совместное распределение сечений

[DeBill]

Jesus_in_Vegas в сообщении #1161133 писал(а):

нам же нужно совместное распределение сечений

Вот именно! Ведь Вам нужно найти

Jesus_in_Vegas в сообщении #1161066 писал(а):

$P\left\lbrace\xi_{t}=u, \xi_{\tau}=v\right\rbrace$

Решая эту систему уравнений, найдете $\alpha,\beta$,и, зная их совместное распределение, - саму вероятность.

(Оффтоп)

Вот токо одна проблема - она равна 0. И искать Вам надо - плотность распределения. А делать это удобно, сосчитав вначале (совместную ) функцию распределения. И, значит, надо решать не систему уравнений, а систему неравенств. А ее решения - дык это просто область, заданная этими неравенствами. И по этой области надо проинтегрировать совместную плотность пары $\alpha,\beta$. А интегралы неберущиеся... Ну да и бог с ними: просто расставим пределы , да и ладно. И вот , дифференцируя это безобразие, мы и получим что надо....

[Jesus_in_Vegas]

DeBill
ну дак совместное распределение $\alpha, \beta$ это просто произведение их плотностей, так как независимы, так ведь?
а одномерное распределение процесса есть плотность сечения, которая тоже уже известна, потому что это нормальная сл. величина с параметрами $m=0, \sigma=\sqrt{1+t^2}$.
Дак воот, вопрос то в том, что я не понимаю, распределение второго порядка (это совместная плотность двух сечений) это тоже произведение их плотностей (плотностей сечений)?

[profrotter]

По-моему здесь удобнее найти сначала двумерную характеристическую функцию (она окажется ХФ некоторого известного процесса), а затем двумерную плотность вероятности.

[DeBill]

Jesus_in_Vegas в сообщении #1161152 писал(а):

распределение второго порядка (это совместная плотность двух сечений) это тоже произведение их плотностей (плотностей сечений)?

Не факт. Это было бы так, если они - одномерные - независимы. Но разве это верно?

А ваще, можно делать без всякой техники, примерно так: вектор $(\alpha,\beta)$ имеет двумерное нормальное распределение. Вектор $(\xi_t,\xi_{\tau})$ получен из него линейным преобразованием, и потому тоже имеет нормальное распределение. Осталось найти его матрицу ковариаций. Дисперсии (одномерных) Вы уже знаете, так что осталось найти ковариацию $\xi_t$ и $\xi_{\tau}$...Вперед!

-- 19.10.2016, 20:53 --

А, ну да, это , фактически, то же самое, что уже написал profrotter...

[Jesus_in_Vegas]

DeBill
Даа, спасибо!
Нашла ковариационную функцию, далее нашла все же двумерное распределение, которое оказалось просто гигантским выражением, эх, надеюсь нигде не ошиблась.