К вопросу о нормировке плоской волны

[DAlembert]

Добрый день, господа.
Хотел бы получить помощь/консультацию по следующему вопросу.
Свободная частица, которую будем описывать плоской волной $A\exp\left(\frac{ipx}{\hbar}\right)$ попадает в потенциальную яму, в которой существуют связанные состояния с набором волновых функций $\left{\Psi_n(x)\right}$. Необходимо найти заселенности различных состояний (уровней энергии). Для чего мы раскладываем плоскую волну по набору волновых функций потенциальной ямы:

$$A\exp\left(\frac{ipx}{\hbar}\right)=\sum\limits_{n}Q_{n}\Psi_n(x),$$

откуда находим

$$Q_n=\int{A\exp\left(\frac{ipx}{\hbar}\right)\Psi_n(x)dx.$$

Квадрат модуля $\left\lvert{Q_n}\right\rvert^2\sim$ вероятности заселения n-го уровня энергии. Вопрос в следующем. Как нормировать плоскую волну, чтобы квадрат модуля коэффициента разложения можно было трактовать именно как вероятность заселения конкретного уровня энергии?
Сложность в том, что размерность волновых функций связанных состояний $\left[\Psi_n(x)\right]=\frac{1}{\sqrt{cm}}.$ Поэтому, чтобы коэффициенты заселенностей $Q_n$ были безразмерными нужно, чтобы размерность коэффициента нормировки плоской волны $A$ тоже была $\frac{1}{\sqrt{cm}}.$

P.S.1 Просьба учесть, что речь идет именно об одномерном случае. В трехмерном случае коэффициент нормировки $A$ можно взять в виде $\sqrt{\frac{j}{v}}$, где $j$ - плотность потока (характеристика ускорителя). Тогда размерность $A$ совпадет с размерностью трехмерной волновой функции связанного состояния $\left[\Psi_n(r)\right]=\frac{1}{\sqrt{cm^{3}}}.$

P.S.2 Речь идет не о туннелировании(!) в яму.

[Cos(x-pi/2)]

У меня вызывает сомнение сама постановка вопроса в том виде, как Вы его ставите. Что значит "частица, которую описываем плоской волной, попадает в потенциальную яму"? С какой это радости она вдруг туда попадает? Давайте вдумаемся:

1. Разумно считать, что при движении "над ямой" частица имеет некоторую положительную энергию $\varepsilon > 0.$

2. Однако, в любом из связанных состояний $\Psi_n(x)$ в яме энергия $\varepsilon_n$ частицы должна быть меньше, чем над ямой (обычно считается, что потенциал обращается в ноль вдали от ямы, и тогда все уровни энергии в яме отрицательные: $\varepsilon_n<0).$

3. Значит, чтобы частица смогла перейти в связанное состояние в яме, она должна излучить избыток энергии, взаимодействуя с чем-то ещё (как в реальной жизни: чтобы упасть в яму, электрон должен испустить фотон, или, если дело происходит в твёрдом теле, - испустить фонон; и т.п.). Тогда для расчёта вероятностей переходов нужно будет знать матричные элементы гамильтониана взаимодействия частицы с этим "чем-то ещё", а нужных данных в указанном вами условии задачи нет. Вот поэтому разумность исходной постановки вопроса вызывает сомнение.

4. При условии сохранения энергии частицы можно поставить задачу о рассеянии частицы потенциалом ямы (т.е. искать вероятности отражения частицы ямой назад и прохождения над ямой вперёд); но тогда желательно было бы знать сам потенциал ямы $U(x),$ который, однако, тоже не дан в условиях задачи в явном виде.

5. Указанную же вами величину $|Q_n(p)|^2$ можно интерпретировать (после должной нормировки) лишь как плотность вероятности обнаружения у частицы, находящейся в $n-$ом связанном состоянии в яме, того или иного значения импульса $p.$ Под $p$ здесь подразумевается $p_x$ - непрерывная величина, которая может быть положительной и отрицательной; в 1-мерной задачке это аналог вектора импульса частицы. Нахождение такого распределения по импульсам есть худо-бедно разумная постановка вопроса (в качестве простенькой учебной задачки), если заданы только функции $\Psi_n(x).$

В этом случае можно под интегралом положить $A=1,$ так что $Q_n(p_x)$ будет иметь размерность корня квадратного из длины, а распределение вероятности для $p_x$ будет описываться формулой:

$dW_n(p_x)=\dfrac{|Q_n(p_x)|^2}{2 \pi \hbar}\, dp_x $.

6. Не исключаю ещё и такой вариант: в условиях задачи было дано больше информации, чем в вопросе в том виде, как Вы его здесь сформулировали.

[DAlembert]

Наверное, Вы правы. Мне стоило более подробно написать откуда берется такая проблема. А задача(она не учебная) состоит в следующем. Электрон влетает в кристалл. До момента влета он свободный и описывается плоской волной (приближенно, конечно). Внутри же кристалла, при выполнении определенных условий (угол касания электрона с кристаллографической плоскостью < т.н. угла Линдхарда), электрон начинает двигаться в режиме "каналирования", т.е. пролетает довольно большие расстояния внутри канала, образованного кристаллографическими плоскостями. Таким образом, его поперечное движение (вдоль оси x) ограничено двумя плоскостями, т.е. он двигается в потенциальной яме (Вдоль осей z и y он по прежнему свободный и описывается плоской волной). Ограниченное движение по оси x, с точки зрения кв. механики, характеризуется дискретным спектром. О конкретном виде потенциала, в котором движется такой электрон, говорить не будем, т.к. это долгая история и от этого не зависит решение моей проблемы. В силу того, что задача не совсем обычная и возникает проблема. Если бы речь шла об излучении и последующем падении в яму, то там такой проблемы не возникало бы, т.к. все матричные элементы, будучи возведенными в квадрат, затем интегрируются по плотностям состояний и т.д. и нормировку начального состояния(плоской волны) выбирают, исходя из конкретной задачи так, чтоб было удобно, она в любом случае ни на что не влияет. Здесь же, непонятно как поступать.

P.S. изначально задача трехмерная: плоская волна $\exp\left(i\mathbf{pr}\right)$, движется вдоль оси z ($p_z>>p_x,p_y$), влетает в кристалл и внутри него уже описывается функцией вида

$$\exp(ip_{z}z+ip_{y}y)\sum\limits_{n}Q_n(p_x)\Psi_n(x).$$

Но нас интересует лишь поперечное движение вдоль оси х, поэтому мы и рассматриваем одномерный случай.

[amon]

DAlembert в сообщении #1161128 писал(а):

Электрон влетает в кристалл.

К черту подробности, энергия у электрона какая?

[DAlembert]

amon в сообщении #1161138 писал(а):

DAlembert в сообщении #1161128 писал(а):

Электрон влетает в кристалл.

К черту подробности, энергия у электрона какая?

Поперечная энергия электрона ($E_x$) до влета в кристалл >0 (т.к. он свободен), после влета <0, т.к. он связан.

[amon]

Чему равна полная энергия влетающего электрона в eV? От ответа на этот вопрос зависит способ решения задачи.

[DAlembert]

amon в сообщении #1161144 писал(а):

Чему равна полная энергия влетающего электрона в eV? От ответа на этот вопрос зависит способ решения задачи.

$E\approx3300$ eV

[amon]

DAlembert в сообщении #1161145 писал(а):

$E\approx3300$ eV

Годится. Тогда вопрос - статью Линдхарда в УФН 1965, т. 87, с.585 читали?

[DAlembert]

amon в сообщении #1161147 писал(а):

DAlembert в сообщении #1161145 писал(а):

$E\approx3300$ eV

Годится. Тогда вопрос - статью Линдхарда в УФН 1965, т. 87, с.585 читали?

нет, только 1969, т. 99.