Дробно-рациональное уравнение.

[Stensen]

Доброго времени суток. Уважаемые, помогите с уравнением: Решить относительно $x$ и $y$ уравнение: $\frac{x(x+1)}{(x-3)(x+4)}=\frac{y(y+1)}{(y-3)(y+4)}$ . Исходя из полученных решений и допустимых значений переменных выяснить, можно ли говорить, что это уравнение задает функцию вида: $y=f(x)$ и/или: $x= \varphi (y)$ ?

Если рассмотреть функцию: $ f(z) = \frac{z(z+1)}{(z-3)(z+4)} $ , то: данное уравнение можно представить в виде: $f(x) = f(y)$, причем $f(x) не монотонна и необратима и написать: $y=f^{-1} $\cdot f (x) $ не можем, а написав: $x=y$ потеряем решения.
Правильно ли я понимаю, что ответ на вопрос этой задачи - отрицательный, т.е. это уравнение не задает функцию вида: $y=f(x)$ ?

[Brukvalub]

Stensen в сообщении #1160807 писал(а):

это уравнение не задает функцию вида: $y=f(x)$ ?

Верно.

[gris]

Можно упростить ситуацию. Те же вопросы про уравнение $x^2=y^2$. Здесь каждому ненулевому значению одной переменной соответствуют два значения другой. То есть говорить о функции $y=f(x)$ нельзя по определению функции. Можно сказать о совокупности или семействе функций, о неявной функции. Но такого вопроса нет.

[Stensen]

гранд сенкс

[svv]

А Вы нашли решения, на основе которых предлагалось сделать вывод?

[gris]

Функцию можно для упрощения подвинуть чуть-чуть вбок.

[Stensen]

svv в сообщении #1160824 писал(а):

А Вы нашли решения, на основе которых предлагалось сделать вывод?

Некоторые решения могу указать: (0,0), (0,-1), (-1,0), (-1,-1), $x=y$, с учетом ОДЗ конечно, более сказать ничего не могу. Если раскрывать, получим дикое квадратное уравнение, что с ним делать не знаю? А можно с ним что-то сделать?

gris в сообщении #1160827 писал(а):

Функцию можно для упрощения подвинуть чуть-чуть вбок.

Gris , не понял намека, поясните пожалуйста.

[svv]

Так как у меня намёк тот же или похожий, позвольте мне ответить за grisа.
Подставим $x=X-\frac 1 2, y=Y-\frac 1 2$. Получим
$\dfrac{(X-\frac 1 2)(X+\frac 1 2)}{(X-\frac 7 2)(X+\frac 7 2)}=\dfrac{(Y-\frac 1 2)(Y+\frac 1 2)}{(Y-\frac 7 2)(Y+\frac 7 2)}$,
или
$\dfrac{4X^2-1}{4X^2-49}=\dfrac{4Y^2-1}{4Y^2-49}$

[Someone]

Stensen в сообщении #1160854 писал(а):

Если раскрывать, получим дикое квадратное уравнение

Ой, да ладно Вам, не такое уж и "дикое". Тем более, что оно имеет очевидное решение $x=y$, которое Вы сами указали. Тут уж грех не найти второе решение.

[gris]

График функции очень помогает понять ситуацию. Таскать по нему горизонтальную линию и смотреть за числом пересечений.

[svv]

Stensen
Уравнение $\frac{4X^2-1}{4X^2-49}=\frac{4Y^2-1}{4Y^2-49}$ простое. Оно равносильно
$1+\frac{48}{4X^2-49}=1+\frac{48}{4Y^2-49}$,
откуда просто $X^2=Y^2$.

[Stensen]

Всем спасибо, внял.