Несобственный интеграл от триг. и гиперболических функций

[DAlembert]

Добрый вечер, господа.
Прошу помочь с интегралом

$\int\limits_{0}^{\infty}\frac{\sin(px)\sinh(x)}{\cosh^\alpha(x)}dx$.

$\alpha$ - нецелое число. Параметр $a$ не является малым.
Заранее благодарен.

[Pphantom]

DAlembert в сообщении #1160639 писал(а):

$\alpha$ - нецелое число. Параметр $a$ не является малым.

А где тут параметр $a$? Или имеется в виду $\alpha$ (от малости $p$, по идее, ничего не зависит).

Не знаю уж, учебная это задача или нет, поэтому скажем так: Maxima это умеет.

[DAlembert]

Прошу прощения, опечатался. Конечно же речь идет о параметре $p$. Если бы он был малым, то можно было бы разложить синус. Полученный таким образом интеграл содержится в справочнике. Задача не учебная, в учебных задачах практически все интегралы берутся без труда)

[Pphantom]

М-да, и я тоже извиняюсь, слишком резво упростил задачу, в общем случае это не срабатывает.

[ex-math]

А в комплексную плоскость не пробовали выходить? Замкнутого ответа не получится из-за нецелости $\alpha $, но можно свести к интегралу по разрезу. Кажется, для полуцелого $\alpha $ что-то приличное может выйти.

[mihiv]

Считаем $\alpha >1$. Интегрируем один раз по частям:

$$J=\dfrac p{\alpha -1}\int \limits _0^{\infty }\cos px\ch ^{1-\alpha }xdx=\dfrac {2^{\alpha -1}p}{\alpha -1}\int \limits _0^{\infty }\cos pxe^{(1-\alpha )x}\left (1+e^{-2x}\right )^{1-\alpha }dx$$

Так как $\left (1+e^{-2x}\right )^{1-\alpha }=1+(1-\alpha )e^{-2x}+\dfrac {(1-\alpha )(-\alpha )}2e^{-4x}+\dots $, то затем интегрируем почленно полученный ряд.

[Markiyan Hirnyk]

Mathematica 11 выдает на гора https://www.dropbox.com/s/h1nw04jz0vb3rqu/integral%202.pdf?dl=0

[DAlembert]

ex-math в сообщении #1160748 писал(а):

А в комплексную плоскость не пробовали выходить? Замкнутого ответа не получится из-за нецелости $\alpha $, но можно свести к интегралу по разрезу. Кажется, для полуцелого $\alpha $ что-то приличное может выйти.

Думал о переходе на кп, но, к сожалению, $\alpha$ даже не полуцелое, а вообще какое угодно. Но и при полуцелом я не знаю, что с ним делать)

mihiv в сообщении #1160776 писал(а):

Считаем $\alpha >1$. Интегрируем один раз по частям:

$$J=\dfrac p{\alpha -1}\int \limits _0^{\infty }\cos px\ch ^{1-\alpha }(x)dx=\dfrac {2^{\alpha -1}p}{\alpha -1}\int \limits _0^{\infty }\cos pxe^{(1-\alpha )x}\left (1+e^{-2x}\right )^{1-\alpha }dx$$

Так как $\left (1+e^{-2x}\right )^{1-\alpha }=1+(1-\alpha )e^{-2x}+\dfrac {(1-\alpha )(-\alpha )}2e^{-4x}+\dots $, то затем интегрируем почленно полученный ряд.

Вы гений) Я задумывался об интегрировании по частям, но поленился все расписать, а в уме не смог прикинуть и увидеть, что после этого всего справа получается один из интегралов такой же, что и слева. Вы даже не представляете, как помогли мне. С полученным в итоге интегралом я уже разбирался чуть раньше. Он есть в справочнике:

$$\int\limits_{0}^{\infty}\frac{\cos(px)}{\cosh^a(x)}dx=\frac{2^{a-2}}{\Gamma(a)}\Gamma\left(\frac{a}{2}-i\frac{p}{2}\right)\Gamma\left(\frac{a}{2}+i\frac{p}{2}\right)$$

Markiyan Hirnyk в сообщении #1160783 писал(а):

Mathematica 11 выдает на гора https://www.dropbox.com/s/h1nw04jz0vb3rqu/integral%202.pdf?dl=0

Да, это я тоже видел) Я не знаю, как потом бороться с такими выражениями)

Господа, всем огромное спасибо за помощь!

[Markiyan Hirnyk]

Цитата:

Да, это я тоже видел

Понимаю, что все мы видели и все мы знаем.

Цитата:

Я не знаю, как потом бороться с такими выражениями

Если вы имеете в виду, как работать с ответом (в частности, как его обвеличинить), то см. https://www.dropbox.com/s/d2eft016q4e2o84/integral3.pdf?dl=0

[DAlembert]

Имелось в виду свести его к более менее компактному виду)

[Markiyan Hirnyk]

Цитата:

Имелось в виду свести его к более менее компактному виду)

Полагаю, что результат достаточно компактен. Пожалуйста, высказывайтесь ясно и четко.