A problem about circles

[ins-]

It is given circle with center $O$ and radius $1$. Let $AB$ and $CD$ are mutually perpendicular chords and $M$ is the middle of $OB$. Find the radii of the circles, tangent to $CM$, $DM$ and the given circle.

[sergey1]

ins- в сообщении #1160766 писал(а):

It is given circle with center $O$ and radius $1$. Let $AB$ and $CD$ are mutually perpendicular chords and $M$ is the middle of $OB$. Find the radii of the circles, tangent to $CM$, $DM$ and the given circle.

Я правильно понял условие?

Есть окружность с центром $ O $ и радиусом $ 1 $. Пусть $ AB $ и $ CD $ - это взаимно перпендикулярные хорды и $ M $ середина $ OB $. Найдите радиусы окружностей, касательных к $ CM $, $ DM $ и данной окружности.

Если да, непонятно зачем нужна хорда $AB$.
Может $M$ - середина чего-то другого?

[ins-]

The statement you wrote is correct. The problem was given in Bulgarian Math Olympiad 1994 - II-nd round. I suppose there can be a mistake and instead of OB - M is the middle of AB, but if there is a mistake - then O is not needed in the statement.

[ins-]

Excuse me for the mistake. The correct text is:

It is given circle with center $O$ and radius $1$. Let $AB$ and $CD$ are mutually perpendicular diameters and $M$ is the middle of $OB$. Find the radii of the circles, tangent to $CM$, $DM$ and the given circle.

Есть окружность с центром $ O $ и радиусом $ 1 $. Пусть $ AB $ и $ CD $ - это взаимно перпендикулярные диаметры и $ M $ середина $ OB $. Найдите радиусы окружностей, касательных к $ CM $, $ DM $ и данной окружности.

[StaticZero]

(Спойлер)

Ответ: $\dfrac{3}{2} \big(\sqrt{5} - 2\big), \quad \dfrac{1}{2} \big(\sqrt{5} - 2\big)$.

(Оффтоп)

[ins-]

To StaticZero

(Оффтоп)

There are two more circles with the same radius. To find it is a more interesting exercise.

[StaticZero]

А, так вот где я попался.

[ins-]

There is at least one more way to find your result, by drawing common tangents through $A$ and $B$.