найти наименьший член последовательности

[tata00tata]

Здравствуйте. Задание. Найти наименьший член последовательности
$a_n=n^2-8n+15-\frac{9}{{(3n-16)}^2+6}$
я знаю три варианта решения:
1. рассмотреть функцию, найти её минимум.
2. Последовательность должна быть не монотонной, можно рассмотреть неравенство $a_{n+1}>a_n$ и найти, начиная с какого номера последовательность станет возрастать.
3. $a_n=n^2-8n+15-\frac{9}{{(3n-16)}^2+6}={(n-4)}^2-1-\frac{9}{{(3n-16)}^2+6}$
только догадки, что может как-то совместно минимизировать ${(n-4)}^2$ и максимизировать ${(3n-16)}^2$ но это скорее всего не правильно, т.к. в числителе ещё и 9.
Первые 2 пункта долго, мне кажется здесь можно как-то проще, просто я не догадалась. Подскажите пожалуйста. Спасибо.

[DeBill]

tata00tata
А из Вашего варианта 3 (или 1) не следует, случайно, что, начиная с пятого члена, оба слагаемых - возрастают?
И тогда - что?

[tata00tata]

если Вы имеете в виду слагаемые
${(n-4)}^2-1$ и $\frac{9}{{(3n-16)}^2+6}$, то второе слагаемое не возрастает начиная с 5 члена или я что-то не поняла.

[svv]

Ну, не с пятого, так с шестого. Важно, что область поиска сужается до нескольких первых членов.

[gris]

Второе слагаемое же с учётом минуса А то так можно впасть в когнитивный диссонанс

[svv]

При больших $n$
${{(3n-16)}^2+6} \nearrow$
$\frac{9}{{(3n-16)}^2+6} \searrow$
$-\frac{9}{{(3n-16)}^2+6} \nearrow$
Всё OK?

[gris]

Ну да. Я просто подумал, что ТС не поняла. Она написала дробь без минуса. Или, наоборот, поняла правильно. У неё дробь вычитается. Некоторые не любят называть это слагаемым. Ну я так просто.

[tata00tata]

Спасибо огромное. Всё поняла, это было временное помешательство. Скажите а на этом сайте есть какой-то рейтинг участников, который можно повышать в благодарность?

[ewert]

tata00tata в сообщении #1160544 писал(а):

догадки, что может как-то совместно минимизировать ${(n-4)}^2$ и максимизировать ${(3n-16)}^2$

Это всё излишне. Что, если б перед дробью стоял бы плюсик?... А ведь ситуация качественно-то не изменилась бы.

Просто определите, начиная с какого момента первые два слагаемых возрастают не менее чем на двойку, а последнее по модулю там и дальше заведомо меньше единицы. И тупо перебирайте значения до этого момента (а без перебора в подобных задачках всё равно никак).