И снова уравнение в натуральных числах

[Ktina]

Решить в натуральных числах уравнение

$$(n!+16)(m!-16)=k!+16$$

[svv]

Допустим, $n\geqslant 6,\;m\geqslant 6$. Тогда $k\geqslant 8$. Значит,
$\bullet$ $n!$ и $m!$ делятся на $16$ $\Rightarrow$ $(n!+16)(m!-16)$ делится на $256$.
$\bullet$ $k!$ делится на $32$ $\Rightarrow$ $k!+16$ не делится на $32$.
Противоречие.

[svv]

Аналогично можно показать, что нет решений при
$n\geqslant 2, m\geqslant 6$
$n\geqslant 6, m\geqslant 4$
Остаётся только четыре комбинации, когда $n\in\{2,3\},\;m\in\{4,5\}$, и случай $n=1$. Но...

[lopkityu]

Имеем очевидные оценки $ m\geq 4, k\geq 5 $. Сравнивая обе части равенства по модулю 3, находим $ n=1 $. Повторив процесс по модулю 5, получаем единственное решение $ m=4, k=5 $.

[Ktina]

lopkityu
svv
Спасибо!