Плохо обусловленная система

[Stasya7]

Какие могут быть причины, что в плохо обусловленной СЛАУ погрешность в правой части не даёт больших погрешностей решения?
Например, есть у меня матрица с большим числом обусловленности (порядка $10^4$). Но, как бы я не меняла правую часть, относительная погрешность решения возрастает не более, чем в $10$ раз по сравнению с относительной погрешностью правой части. Почему?

[Евгений Машеров]

А как Вы меняете правую часть?

[Stasya7]

Евгений Машеров в сообщении #1159577 писал(а):

А как Вы меняете правую часть?

Сначала изменяла каждую координату на несколько %. Потом уже как-то произвольно меняла, но рост не больше, чем в 10 раз.

[Евгений Машеров]

Ну, вот у нас задача $Ax=b$
Представляя матрицу A через сингулярное разложение $A=S\Lambda C$, где S и С ортогональные матрицы, а $\Lambda$ диагональная. Число обусловленности равно отношению максимального и минимального сингулярных чисел.
Решение есть $x=C^T\Lambda^{-1}S^Tb$
Разлагая возмущение вектора b по базису, образованному столбцами матрицы S, видим, что основное влияние на возмущение решения x оказывают компоненты, направленные вдоль столбцов, соответствующих малым сингулярным числам и изменение обратно пропорционально величине сингулярных чисел.
Далее могу лишь предположить, что среди сингулярных чисел матрицы одно очень мало, а остальные существенно больше его, что даёт высокое число обусловленности, однако если возмущение почти ортогонально столбцу, соответствующему этому сингулярному числу, его действие на решение определяется прочими сингулярными числами, не малыми. В Ваших экспериментах чисто случайно могла быть "почти ортогональность" этого рода. То есть подобрать малое возмущение b, дающее сильное возмущение x, можно, но подбирая специально, соответственно структуре матрицы А.