Помогите найти ошибку в решении интеграла

[blueboar2]

Решаю интеграл

$2\cdot\int{\frac{\cos x}{\sin^3x}dx}=2\cdot\int{\frac{d(\sin x)}{\sin^3x}}=2\cdot\int{\sin^{-3}x d(\sin x)=2\cdot\frac{\sin^{-2}x}{-2}}=-\frac{1}{\sin^2x}$

Константу не учитываю, так как мне так надо по задаче, она появится позднее. Но не в этом дело. Захожу в Wolframalpha по адресу http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+2(cos(x))%2F((sin(x)%5E3)), и вижу, что результат-то оказывается равен $-\cot^2x$. Как так?

[svv]

Всё очень просто: $\frac 1{\sin^2 x}$ и $\ctg^2 x=\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}$ отличаются на константу $1$. Оба ответа правильные, а ситуация призывает к тому, что $+C$ таки надо писать.

[blueboar2]

Понятно, спасибо.

[OlegCh]

svv в сообщении #1158601 писал(а):

а ситуация призывает к тому, что $+C$ таки надо писать.

Очень, кстати, хороший пример в методическом плане! Из-за этой константы (когда ей пренебрегают) часто возникают всякие несуразные "парадоксы".

[Metford]

OlegCh в сообщении #1159460 писал(а):

Очень, кстати, хороший пример в методическом плане! Из-за этой константы (когда ей пренебрегают) часто возникают всякие несуразные "парадоксы".

За такими примерами далеко ходить не нужно. Чудесный интеграл

$$\int\sin x\cos xdx$$

приводит к трём "ну совершенно разным" ответам.