Предпоследняя цифра любой степени

[Ktina]

Ксюша решала известную старую задачу:
Докажите, что предпоследняя цифра любой степени числа 3 чётна.

Решив эту задачу, Ксюша заметила, что число 3 в условии этой задачи можно заменить на любое натуральное число, дающее остаток 0, 1, 3, 5, 7 или 9 при делении на 20. С другой стороны, Ксюша заметила, что для любого натурального числа $n$, не дающего ни один из вышеперечисленных остатков при делении на 20, найдётся такой натуральный показатель $k$, что предпоследняя десятичная цифра числа $n^k$ не будет чётной.

Докажите, что гипотеза Ксюши верна.

[waxtep]

Я в лоб подошел, и, кажется, оно получилось для тройки надо доказать для любых целых неотрицательных $n$, что

$$(3^n\bmod 100-3^n\bmod 10)/10\bmod2=0$$

то есть, что

$$3^n\bmod20=3^n\bmod10$$

что верно для любого $n$ (достаточно посчитать для $n\le4$, поскольку $3^4\bmod10=1$ и далее периодично). Для чисел вида $20a+b$ тройка заменяется на $b$ и мы просто видим, для каких $b$ будет период, а для каких контрпример.

[svv]

А у меня вот что получилось.
Числа с нечётной предпоследней цифрой отпадают сразу.
Числа с чётной, но ненулевой предпоследней цифрой ведут себя так же, как с нулевой предпоследней (и той же последней).

Остаётся проверить однозначные $n$.
Несложный тест на чётность предпоследней цифры покажу на примере $n=7$ (только процедура, без доказательства). Начинаем с числа $1$.
$1$ умножаем на $7$, получаем $07$. Цифра $0$ чётная, это хорошо, отбрасываем, остаётся $7$.
$7$ умножаем на $7$, получаем $49$. Цифра $4$ четная, это хорошо, отбрасываем, остаётся $9$.
$9$ умножаем на $7$, получаем $63$. Цифра $6$ чётная, это хорошо, отбрасываем, остаётся $3$.
$3$ умножаем на $7$, получаем $21$. Цифра $2$ чётная, это хорошо, отбрасываем, остаётся $1$.
Дальше будет повтор. Тест пройден.
Если бы мы каким-то образом получили последнюю цифру $5$, было бы:
$5$ умножаем на $7$, получаем $35$. Цифра $3$ нечётная, это плохо. Тест провален.
— но мы её не получили.

[Ktina]

waxtep
svv
Можно гораздо проще, по модулю 4.
Сказать, как?

[svv]

Скажите.

[Ktina]

svv в сообщении #1159202 писал(а):

Скажите.

Если $n$ даёт остаток 3 при делении на 20, то последняя цифра числа $n^k$ будет 3, 9, 7 или 1, в зависимости от остатка $k$ на 4.
Если последняя цифра $n^k$ будет 3 или 7, то остаток $n^k$ на 4 будет равен 3, но тогда предпоследняя цифра обязана быть чётной, в противном случае остаток $n^k$ на 4 был бы равен 1, а не 3.
Если же последняя цифра $n^k$ будет 9 или 1, то остаток $n^k$ на 4 будет равен 1, но тогда предпоследняя цифра снова обязана быть чётной, в противном случае остаток $n^k$ на 4 был бы равен 3, а не 1.

Остаток 7 при делении на 20 рассматривается аналогично. С остатками 1 и 9 ещё проще. А с остатком 0 вообще всё очевидно.

Если $n$ даёт остаток 5 при делении на 20, то $n^k$ даёт остаток 1 при делении на 4. Но тогда предпоследняя цифра опять неизбежно будет чётной.


Если остаток на 20 не меньше 10, то уже при $k=1$ получаем нечётную предпоследнюю цифру.

Если $n$ даёт остаток 2 при делении на 20, то у $n^4$ предпоследняя цифра будет нечётна, так как последняя цифра $n^4$ будет равна 6, а $n^4$ должно делиться на 4.

Если $n$ даёт остаток 4 при делении на 20, то у $n^2$ предпоследняя цифра будет нечётна, так как последняя цифра $n^2$ будет равна 6, а $n^2$ должно делиться на 4.

Если $n$ даёт остаток 6 при делении на 20, то у $n^2$ предпоследняя цифра будет нечётна, так как последняя цифра $n^2$ будет равна 6, а $n^2$ должно делиться на 4.

Если $n$ даёт остаток 8 при делении на 20, то у $n^3$ предпоследняя цифра будет нечётна, так как последняя цифра $n^3$ будет равна 2, а $n^3$ должно делиться на 4.

[svv]

Ktina в сообщении #1159199 писал(а):

Можно гораздо проще

Та не, не сильно. Давайте померяемся.
У Вас:

Ktina в сообщении #1159216 писал(а):

Если $n$ даёт остаток 3 при делении на 20, то последняя цифра числа $n^k$ будет 3, 9, 7 или 1, в зависимости от остатка $k$ на 4.
Если последняя цифра $n^k$ будет 3 или 7, то остаток $n^k$ на 4 будет равен 3, но тогда предпоследняя цифра обязана быть чётной, в противном случае остаток $n^k$ на 4 был бы равен 1, а не 3.
Если же последняя цифра $n^k$ будет 9 или 1, то остаток $n^k$ на 4 будет равен 1, но тогда предпоследняя цифра снова обязана быть чётной, в противном случае остаток $n^k$ на 4 был бы равен 3, а не 1.

У меня:
$\begin{array}{l}1\cdot 3={\color{blue}0}3\\[0.3ex]3\cdot 3={\color{blue}0}9\\[0.3ex]9\cdot 3={\color{blue}2}7\\[0.3ex]7\cdot 3={\color{blue}2}1\\[0.3ex]1\to \text{повтор}\end{array}$
Синие цифры чётные.
Ну, понятно, процедура требует обоснования, но оно делается один раз для любого однозначного $n$ (а случай $n>9$ сводится к этому).

[Ktina]

svv
Вы как всегда правы.