Нано-лягушка

[StrangeMan]

Недавно нашел в старом архиве одной олимпиады школьников интересную задачку:
Нано-лягушка, перемещаясь по плоскости, может
делать два вида действий: прыгать в направлении взгляда ровно на 1 метр и изменять направ-
ление взгляда на угол, кратный 45 градусам.
а) Докажите, что таким образом нано-лягушка может приблизиться к любой точке плоско-
сти на расстояние, не превосходящее 1 нанометра.
б) Может ли нано-лягушка, перемещаясь таким образом, удалиться от точки, в которой она
первоначально находилась, ровно на 2,5 метра?

Есть подозрение, что б) можно вывести из а).

Идеи для a):
1. Показать, что лягушка может бесконечно уменьшать свое расстояние до точки, на которую не может перепрыгнуть.
2. Не даром же здесь углы, кратные 45 градусам. Прямоугольные треугольники, у которых острые углы по 45 градусов, равнобедренные.

Идеи для б):
1. Использовать графы. Показать, что из вершины, в которой находится лягушка, нельзя попасть в вершину на расстоянии 2.5.
2. Окружности. Вокруг любой точки можно начертить окружность радиусом 1. Тогда лягушка может попасть в точку, только находясь на этой окружности.
3. Сначала доказать а) и утверждать, что лягушка будет бесконечно приближаться к какой-либо точке на расстоянии 2.5 от старта, но не достигнет ее.

Как вы думаете, какой подход наиболее верный? Или есть другие идейки?

[mihaild]

Из того, что лягушка может побывать сколь угодно близко к какой-то точке, не следует, что она не может побывать и в самой этой точке.
Вообще можно явно выписать множество точек, в которые лягушка может попасть (у нее всего 8 вариантов прыжка из каждой точки). Из этого сразу будет виден ответ на б.

[Pphantom]

(На всякий случай прикрою)

Все варианты ходов описываются таким образом: одна из координат лягушки меняется на единицу или две координаты сразу меняются на $\pm \sqrt{2}/2$. Тем самым очевидно, что лягушка может достичь любой точки, обе координаты которой одновременно представимы в виде $p + q\,\sqrt{2}$ или $p + (q+1/2)\,\sqrt{2}$ где $p,q \in \mathbb{Z}$. Далее первое утверждение доказывается конструктивно (подбором $p$ и $q$ достаточно больших по абсолютной величине и разных знаков, причем второй вариант пар координат можно для простоты не рассматривать, хватит и первого), отрицательный ответ на второй вопрос сразу же следует из иррациональности $\sqrt{2}$.

[StrangeMan]

Спасибо всем! Ни один из моих подходов не был правильным. Вы правы: тут нужно работать с представлением координат.

[svv]

Введём декартовы координаты.

Заставим лягушку после любого прыжка по диагонали поворачиваться на $\pm 90°$ и прыгать ещё раз. Тогда после этих двух прыжков изменится только одна из декартовых координат (на $\pm\sqrt 2$). Я ограничил множество возможных прыжков лягушки, но лично мне такое ограничение только помогает: можно считать, что лягушка может прыгать только параллельно координатным осям, зато (на выбор) либо на $\pm 1$, либо на $\pm\sqrt 2$. И как-то всё ясно.

(списано у Pphantom)

[arseniiv]

Тогда вопрос о достижимости перемещения на 2,5 метра останется открытым — вдруг можно воспользоваться исключенными видами прыжков? Зато если рассматривать ваше ограничение вместе с, наоборот, расширением функционала — лягушка может прыгать только параллельно осям, но зато и на 1, и на $\sqrt2/2$ — простота и в первой части задачи, для которой можно только ограничивать, и во второй, для которой можно только расширять.

[svv]

Я почему-то на б) и внимания не обратил. Конечно, это только для а).