Вычисление главной кривизны без типовых формул.

[maksustoff]

Здравствуйте.Преподаватель дал доп.задачу.Подсчитать главную кривизну(некоторой любой поверхности) "в лоб",т.е. без использования стандартных формул: задать новую систему координат, написать ур-е в специальной параметризации в новой системе и далее. До конца не разобрался,если можно дайте,пожалуйста, идеи какие-то либо литературу посоветуйте,по данному вопросу.Заранее спасибо.

[svv]

Насколько я понял, преподаватель хочет, чтобы Вы получили формулу для главной кривизны гладкой поверхности «почти с нуля». Не должны использоваться такие величины, как $E,F,G,L,M,N$, потому что это будет свидетельствовать об использовании готовых формул.

Выкрутиться можно. При этом Вы повторите путь великих предшественников. Чего Вы точно не должны делать — это изобретать определение главной кривизны. Приведите его, пожалуйста, чтобы было от чего отталкиваться.

И Вы, наверное, знаете, что в каждой точке поверхности главных кривизн две: $k_1$ и $k_2$. Они могут совпадать, но в общем случае различны.

[maksustoff]

Да,необходимо было найти Гауссова кривизну,не используя формулы через квадратичные формы,т.е. найти уравнение параболоида и из него получить(k1 и k2).Делали перенос,раскладывали функцию в ряд Тейлора и получали ур-е параболоида.Проверяли через формулы,совпадало(т.е. ответ в нашем способе и в способе через формулы).Но все равно есть сомнения,это правильно или есть какой-то ещё способ?Спасибо.

[svv]

maksustoff в сообщении #1158311 писал(а):

это правильно

Это правильно. Понятно, что в зависимости от поверхности и точки может получиться и параболоид вращения, и эллиптический, и гиперболический, вся эта информация содержится в $k_1$ и $k_2$.

maksustoff в сообщении #1158311 писал(а):

есть какой-то ещё способ?

Опишу способ, близкий к стандартному, только без явного использования квадратичных форм.

Сначала — что мы хотим вычислить. Допустим, поверхность (хотя бы в окрестности интересующей нас точки $A$) задана параметрически: $\mathbf r(u, v)$, где $u, v$ — координаты в окрестности. Тогда векторы $\mathbf r'_u$ и $\mathbf r'_v$ будут касательными, а вектор $\mathbf r'_u\times\mathbf r'_v$ нормальным к поверхности. Нормируя его, получим вектор единичной нормали:
$\mathbf n=\frac{\mathbf r'_u\times\mathbf r'_v}{|\mathbf r'_u\times\mathbf r'_v|}$
Проведём на поверхности кривую $(u(s),v(s))$, где параметр $s$ натуральный (имеет смысл длины дуги). Радиус-вектор точки на кривой будет сложной функцией $\mathbf r(u(s),v(s))$. Обозначим дифференцирование по $s$ точкой. Вектор $\dot{\mathbf r}$ (единичный касательный вектор к кривой, аналог скорости) показывает направление кривой. Вектор $\ddot{\mathbf r}$ (вектор кривизны кривой, аналог ускорения) уже связан с кривизной поверхности, но он зависит и от «тангенциальных» изгибов выбранной кривой, не связанных со свойствами поверхности. Зато его проекция на нормаль $(\ddot{\mathbf r}, \mathbf n)$ характеризует скорее поверхность, а не кривую, потому что в данной точке $A$ зависит только от направления кривой.

Вычислим эту проекцию:
$\begin{array}{l}\dot{\mathbf r}=\mathbf r'_u \dot u+\mathbf r'_v \dot v\\[0.2ex] \ddot{\mathbf r}=\mathbf r''_{uu} \dot u\dot u+2\mathbf r''_{uv} \dot u\dot v+\mathbf r''_{vv} \dot v\dot v+\mathbf r'_u \ddot u+\mathbf r'_v \ddot v\\[0.2ex] (\ddot{\mathbf r}, \mathbf n)=(\mathbf r''_{uu},\mathbf n) \dot u\dot u+2(\mathbf r''_{uv}, \mathbf n) \dot u\dot v+(\mathbf r''_{vv}, \mathbf n)\dot v\dot v\quad\quad(*)\end{array}$
Учтено $(\mathbf r'_u, \mathbf n)=(\mathbf r'_v, \mathbf n)=0$.

Значения $\dot u, \dot v$, определяющие направление кривой, не могут быть произвольными. Из $(\dot{\mathbf r},\dot{\mathbf r})=1$ получаем:
$(\mathbf r'_u,\mathbf r'_u)\dot u\dot u+2(\mathbf r'_u,\mathbf r'_v)\dot u\dot v+(\mathbf r'_v,\mathbf r'_v)\dot v\dot v=1\quad\quad(**)$
Остаётся найти минимум и максимум выражения $(*)$ как функции $\dot u, \dot v$ при ограничении $(**)$.

Метод можно приблизить к Вашему, если на плоскости, касательной к поверхности в точке $A$, ввести декартовы координаты $u, v$ с началом в $A$, а координатами точки на поверхности (в малой окрестности $A$) считать координаты $u, v$ её ортогональной проекции на плоскость.

[maksustoff]

svv в сообщении #1158560 писал(а):

Остаётся найти минимум и максимум выражения $(*)$ как функции $\dot u, \dot v$ при ограничении $(**)$.

Не понятен этот пункт, что мы получим в итоге?Если можно покажите на каком-то любом примере,хотелось бы с этим способом тоже разобраться.Спасибо.

[svv]

В выражениях (*) и (**) можно и нужно заранее вычислить все скалярные произведения:
$\begin{array}{lll}(\mathbf r''_{uu},\mathbf n)=L&(\mathbf r''_{uv}, \mathbf n)=M&(\mathbf r''_{vv}, \mathbf n)=N\\(\mathbf r'_u,\mathbf r'_u)=E&(\mathbf r'_u,\mathbf r'_v)=F&(\mathbf r'_v,\mathbf r'_v)=G\end{array}$
Это константы для данной точки. Также обозначим $\dot u = U, \dot v=V$. Это переменные, зависящие от направления кривой (в разных направлениях разная кривизна).

Получаем такую задачу:
Найти максимальное и минимальное значение выражения
$k(U,V)=LU^2+2MUV+NV^2$
при условии
$EU^2+2FUV+GV^2=1$

Красиво в матричной форме: найти максимум и минимум
$\begin{bmatrix}U&V\end{bmatrix}\begin{bmatrix}L&M\\M&N\end{bmatrix}\begin{bmatrix}U\\V\end{bmatrix}$
при условии
$\begin{bmatrix}U&V\end{bmatrix}\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}\begin{bmatrix}U\\V\end{bmatrix}=1$
Задача на условный экстремум. Попробуйте решить.

[svv]

Пока Вы (в моём воображении ) думаете над решением в случае произвольных координат $u,v$ на поверхности, я переброшу мостик между описанным подходом и Вашим.

Введём в окрестности точки $A$ декартовы координаты $(u,v,w)$, ось $w$ нормальна к поверхности в точке $A$, начало координат в $A$. Координаты $(u,v)$ в то же время служат координатами на поверхности в окрестности $A$.
Пусть поверхность представляется уравнением $w=f(u, v)$. Тогда
$\begin{array}{lll}E=1&F=0&G=1\\L=\frac{\partial^2 w}{\partial u^2}& M=\frac{\partial^2 w}{\partial u\partial v}& N=\frac{\partial^2 w}{\partial v^2}\end{array}$

Теперь $U$ и $V$ связаны условием $U^2+V^2=1$, поэтому можно взять
$U=\cos\varphi,\;V=\sin\varphi$
и искать безусловные максимум и минимум функции
$k(\varphi)=L\cos^2\varphi+2M\cos\varphi\sin\varphi+N\sin^2\varphi$

[maksustoff]

Спасибо вам огромное за помощь.Да думаем действительно,спасибо за пояснение вашего способа.Оказалось,кстати,что то решение,которое я указывал,оказалось не совсем верным(перенос мы делали в конкретную,хорошую для нас точку),необходимо же,по указанию преподавателя,выполнить расчеты для произвольной точки,т.е. помимо наших расчетов(разложения в ряд и т.д.) сделать правильный перенос для произвольного случая,что создаст бОльшие расчеты(мы делали, например, перенос для тора и получали ряд,подставляя (0,0), все получалось проще),сейчас думаем над тем как этот перенос осуществить.