Олимпиада НГУ - 2016

[bot]

1 тур (9 октября)

1 курс
1. Определите число способов замощения тротуара $2\times n$ перевёрнутыми доминошками $1\times 2.$

2. Пусть $a+b>0, b+c>0, c+a>0. $ Докажите, что $\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\leqslant \frac{a+b+c}2.$

3. Все десятичные цифры $0,1,\ldots, 9$ сели кружком в случайном порядке.
Докажите, что найдутся три подряд сидящие цифры, сумма которых не меньше $15.$ Привести пример расположения, для которого сумма любых трёх подряд
сидящих цифр не больше 15.

4. Найдите наибольшее действительное число $z$, удовлетворяющее условиям:

$$x + y + z=7 \quad\text{и}\quad xy +xz + yz=11.$$

5. Найдите все целые решения уравнения $3^x+115=y^2.$



2-4 курсы

1. Пусть многочлен $n$-ой степени $p(x)$ с действительными коэффициентами не имеет действительных корней.
Может ли полином $q(x)=\sum \limits_{k=0}^n p^{(k)}(x)$ иметь действительные корни?

2. Различные числа $a$ и $b$ живут на комплексной плоскости - оба не на окружности $C$ радиуса $1$ с центром в нуле.
Докажите, что они могут ходить друг другу в гости, не пересекая окружность $C$ тогда и только тогда,
когда $\left|\frac{1-\overline{a}b}{a-b}\right|>1.$

3. Вычислите предел $\lim\limits_{n\to\infty}\left(\sin\frac{1}{n^2}+\sin\frac{2}{n^2}+\ldots+\sin\frac{n}{n^2}\right)$

4. Докажите, что

$$\int\limits_0^{\frac \pi 2}\cos^nx\sin nx\, dx=\frac1{2^n}\sum\limits_{k=1}^n\frac{2^{k-1}}{k}$$

5. Пусть $|q|<1$ и последовательность $x_n$ удовлетворяет рекуррентности $x_{n+1}=q\cos x_n.$
Докажите, что $x_n$ сходится при любом начальном члене $x_0.$

[daogiauvang]

4. Для 1-го курса. $xy+z(x+y)=11 \leq \frac{(7-z)^2}{4} +z(7-z)$. Следоватаельно,$ 5 \leq z \leq \frac{-1}{3}$

-- Пн окт 10, 2016 08:16:06 --

5 для 1-го курса. По модулю 4 $x$ четное число. Мы получаем $x=4, y=14$ и $x=4, y=-14$.

[gris]

I-3. Предположить и получить противоречие с суммой всех цифр.
Предполагать, конечно, надо, что сумма по любой тройке меньше $15$, то есть не больше $14$. Троек десять. Общая сумма... Ну и так далее.
Можно и напрямик. Тогда в желании получить рассадку с суммой любых цифр подряд меньше 15, вначале посадим $9,8,7$. Расстояние между ними не меньше двух цифр. И куда же девать $6$? Только посередине между $7$ и $8$. Дальше встают $1$ и $0$. Для $5$ остаются 4 места, но они обязательно входят в тройку с $9$. А нуль уже сидит. Чего-то как-то длинно. Но это даже младшим школьникам подойдёт.
А пример расположения, когда сумма любых не больше $15$, получить можно, разнося подальше большие цифры:
$9 5 1 8 4 3 7 2 6 0$

[bot]

(Оффтоп)

gris в сообщении #1158530 писал(а):

Предположить и получить противоречие

Предположить что - противное или приятное?

[TOTAL]

bot в сообщении #1158512 писал(а):

1. Пусть многочлен $n$-ой степени $p(x)$ с действительными коэффициентами не имеет действительных корней.
Может ли полином $q(x)=\sum \limits_{k=0}^n p^{(k)}(x)$ иметь действительные корни?

$\min q(x) = q(x_{min}) = p(x_{min}) > 0 $

[gris]

bot, представляю, как Вы на экзаменах бедных студентов одним взглядом это самое. Я увидел простое решение. Но стоило Вам только спросить, как я впал в панику Предположил я, конечно, что по любой тройке сумма меньше $15$. В целых это означает $\leq 14$. Ну и всё.
Вообще я ещё в школе знал, что в целых числах полезно сразу переходить от строгих неравенств к нестрогим. Вотъ.
I-5. В дополнение к уже опубликованному. Я бы так решал: Показать, что $3^x$ натуральное. Далее последние цифры квадрата, $3^x=(3^t)^2$. Разложение $115$ и разности квадратов на множители и решение двух систем. Наверняка забывали про знак $y$. Кто помнит квадраты и степени одно решение увидит сразу.

[bot]

gris в сообщении #1158553 писал(а):

Ну и всё

$3\cdot 14<3\cdot 15$ - тоже красиво, круговая порука - великая вещь. Я игнорировал нолик и от него разбил на 3 тройки.

[gris]

II-5. А разве не видна сразу сходимость к нулю по сравнению с геометрической прогрессией? Там даже и ряд абсолютно сходится
II-2. Если перейти к показательной форме, то условие эквивалентно $(1-r_1)(1-r_2)<0$/

[TOTAL]

gris в сообщении #1158563 писал(а):

II-5. А разве не видна сразу сходимость к нулю по сравнению с геометрической прогрессией? Там даже и ряд абсолютно сходится /

$x_n$ не к нулю сходится. (Или это кто-то другой сходится к нулю?)

[RIP]

bot в сообщении #1158512 писал(а):

3. Вычислите предел $\lim\limits_{n\to\infty}\left(\sin\frac{1}{n^2}+\sin\frac{2}{n^2}+\ldots+\sin\frac{n}{n^2}\right)$

$$=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{k}{n^2}+O\left(\frac{1}{n^3}\right)\right)=\frac{1}{2}.$$

(Оффтоп)

P.S. Хватает даже просто первого замечательного предела $\sin x=x+o(x)$, $x\to0$.

[DeBill]

TOTAL в сообщении #1158565 писал(а):

$x_n$ не к нулю сходится. (Или это кто-то другой сходится к нулю?)

Сходится к корню $x_{\ast}$ ур-я $x=q\cos x$. Видимо, КТО_ТО $=x-x_{\ast}$

1.1 Фибоначчи? Вот только почему они перевернутые?

-- 10.10.2016, 17:36 --

1.2. Избавимся от знаменателя, откроем на фиг все скобки, и будет нам (видимо) транснеравенство....

[DeBill]

1.4. $\sin ((n-1)x) = \sin (nx) \cos x - \cos (nx) \sin x $.
Тогда $I_n = \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^nx\cdot \sin nx dx = $
$\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{n-1}x \cdot \cos x\sin nx dx = $
$I_{n-1} + \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos nx \cdot \sin x \cos^{n-1}x dx =$
(по частям ) $= I_{n-1} - I_n + \frac{1}{n}$
Ну, и (по индукции) получим че надо...

[bot]

DeBill в сообщении #1158637 писал(а):

1.1 Фибоначчи? Вот только почему они перевернутые?

По моей халатности при раздаче доминошки перевёрнутыми не были, и студенты стали спрашивать, надо ли различать $1|2$ и $2|1$ или нет, а также допускается ли укладка разными сторонами, вот я и перевернул, как оно и положено при игре в домино.

[DeBill]

bot
ААА! Вот, блин, какой я зашоренный математик: для меня блин доминошка - просто хреновина размера один на два.
Ан нет, не всегда....

-- 10.10.2016, 20:11 --

2.2. Конформный автоморфизм единичного круга, переводящий его точку $a$ в центр, имеет вид
$w= \frac{z-a}{1-\bar{a}z}$. Так что условие "$b$ тоже внутри" равносильно тому, что ТА дробь по модулю больше 1....

-- 10.10.2016, 20:15 --

TOTAL в сообщении #1158552 писал(а):

$\min q(x) = q(x_{min}) = p(x_{min}) > 0 $

Ваше решение напомнило известную задачу:
сколько корней у многочлена $1+x+ \frac{x^2}{2!} + ... + \frac{x^n}{n!}$ ?

[gris]

I-1. По-моему, задача изоморфна такой: Сколько существует строк из единиц (горизонтальная) и двоек (пара соседних вертикальных), сумма которых равна $n$. И тут тоже вопрос: симметрия укладки верх-низ учитывается? Наверное, нет.
$1 - 1:\;1.$
$2 - 2:\;11,2.$
$3 - 3:\;111,12,21.$
$4 - 5:\;1111,211,121,112,22.$
$5 - 8:\;11111,2111,1211,1121,1112,221,212,122.$
Доминошек всего 28, то есть можно врукопашную посчитать до 14 слоёв без всяких формул.