Доказать неполноту статистики

[Vintovar]

Всем привет!
Задание из Черновой мат статистика глава 11, задача 3, стр 138. Этот учебник можно посмотреть здесь http://old.nsu.ru/mmf/tvims/chernova/ms/ms_nsu07.pdf
Доказать, что статистика $S = (X _{(1)} , X_{(n)} )$ является достаточной, но не полной статистикой для параметра $\theta \in R$ распределения $U(\theta, \theta + 1)$ (равномерное распределение). $X _{(1)}$ - минимум выборки, $X_{(n)}$ - максимум.

Достаточность я доказал, это несложно, но вот доказать неполноту никак не получается. Даже так, у меня получилось доказать, что статистика полная.
В книге выше есть пример (стр 137) с доказательством полноты статистки вида $S = X_{(n)}$ из равномерного распределения с параметрами $(0, \theta)$, $\theta > 0$. По определения полной статистики там рассматривается интеграл

$$Eg(s) = \int_0^\theta g(y) \frac{ny^{n-1}}{\theta^n} dy = 0$$

и доказывается, что из этого предположения следует, что $g(S) = 0$ п. н. ($g(s)$ - произвольная борелевская функция). Так вот, у меня получилось для моей задачи свести интеграл сумме таких же интегралов (с точностью до степени y и коэффициента). В чем может быть моя ошибка?

[Otta]

Vintovar в сообщении #1157707 писал(а):

В чем может быть моя ошибка?

Трудно сказать вообще что-либо, не зная, что Вы делали. Напишите.

[Vintovar]

Определение
Статистика $S$ называется полной, если равенство $Eg(S) = 0$ для всех $\theta \in \Theta$ п. н. влечет $g(S) = 0$
Здесь $\theta$ - параметр распределения.

В моей задаче. Рассмотрим для начала статистику $X_{(n)}$. Ее плотность равна

$$f_{X} = n(X-\theta)^{n-1}$$

для всех $X \in [\theta; \theta +1]$ и нулю вне этого промежутка.
Далее рассмотрим мат ожидание по определению

$$Eg(X_{(n)}) = \int_\theta^{\theta + 1} g(y) n(y - \theta)^{n-1} dy$$

Далее переходим к пределам от 0 до 1 и преобразование интеграла

$$n \int_0^1 g(y) (y - \theta)^{n-1}dy \ = \ n \int_0^1 g(y) \sum_{k = 0}^{n-1} C_{n-1}^k y^{n-k-1} \theta^k dy =$$

$$= nC_{n-1} ^0\int_0^1 g(y)y^{n-1} dy + n C_{n-1}^1 \theta \int_0^1 g(y) y^{n-2} + \dots + n\theta^{n-1} \int_0^1 g(y) dy $$

По сути каждое слагаемое является частным случаем интеграла из примера, а для статистики такого вида доказана полнота.

[Otta]

Ага, все, стоп. У Вас $S$ двумерна, а Вы этого будто бы и не замечаете. Отбросить одну координату и заниматься только ею - не выход.

(Безотносительно к этому: почему у Вас испортились пределы интегрирования?)

[Vintovar]

То есть, нужно рассматривать мат ожидание как двойной интеграл? А под интегралом совместная плотность распределения статистики?

Пределы по свойству интегралов. $\int_{a+b}^{c+d} = \int_a^c + \int_b^d$. Да, я правда не уверен, что так можно делать с параметрами.

[Otta]

Vintovar в сообщении #1157877 писал(а):

$\int_{a+b}^{c+d} = \int_a^c + \int_b^d$

Кто Вам такое рассказал? Уничтожьте это в своей памяти.

Vintovar в сообщении #1157877 писал(а):

То есть, нужно рассматривать мат ожидание как двойной интеграл? А под интегралом совместная плотность распределения статистики?

Да.

[--mS--]

Vintovar в сообщении #1157845 писал(а):

По сути каждое слагаемое является частным случаем интеграла из примера, а для статистики такого вида доказана полнота.

Вы хотите сказать, что если $\int\limits_0^1 g(y)dy=0$, то $g(y)=0$ п.в.?

[Vintovar]

Большое спасибо, я уже разобрался. Там можно было сделать все гораздо проще. Ведь достаточно просто найти пример функции, которая не будет удовлетворять этому условию.