Вот задачка.
... Объясните в чем ошибка .
Чтобы применить з-н сохранения энергии необходимо учесть работу всех сил. Смотрите, вы отпускаете шарик в гравитационное поле, при достижении расчетной точки у него не только уменьшится потенциальная энергия сил гравитации и увеличится потенциальная энергия сил упругости пружины, но также и возрастет кинетическая энергия. Вот тут можно применить з-н сохранения энергии, т.к. в такой постановки задачи все предельно ясно, именно кинетическую энергию вы потеряли. Тут можно принять, что кин. энергия в расчетной точке и будет равна пот. энергии пружины в этой же точке, т.к. тело, имея некую скорость затормозится через такое же расстояние (т.е. эта неучтенная кин. энергия перейдет в пот. энергию пружины, т.е. в расчетной точке изменение пот. энергии грав. поля будет равно удвоенной пот. энергии сил упругости), и начнется колебательный процесс вокруг первоначальной расчетной точки). Теперь есть некое условие, что тело было плавно опущено. Из этой фразы следует, что ситуация относительно первого случая изменилась, а именно приложенная некоторая сила (помимо гравитационной и силы упругости), которая и обеспечивает плавность опускания тела. Но сила эта переменная и зависит от координаты (так же как и сила упругости), соответственно, чтобы найти ее работу, необходимо интегрировать, численный ответ уже есть, эта работа будет в точности равна работе сил упругости.
Но чтобы понять почему так получается, можно смоделировать происходящий процесс. В первоначальный момент тело покоится, т.е. к телу приложен вес, сила упругости пружины, которая в этой точке пока равна нулю, отсюда мы сразу получаем, что внешняя сила, которая обеспечивает плавность опускания тела равна весу, или равна силе упругости в расчетной точке, направленная она против веса, т.е. тело находится в покое. Теперь рассматриваем тело в расчетной точке, тут действует вес тела, сила упругости пружины, а вот добавочная сила уже равна нулю.
Теперь рассмотрим промежуточную точку. В ней потребуем то же самое условие - сила упругости плюс добавочная сила должны быть равны весу и противонаправленны.
Т.о. мы видим, что при растяжении пружины сила упругости нарастает, а внешняя сила уменьшается, т.е. ситуация симметричная, и работа этих сил будет равна между собой.
Т.к. для каждой точки мы составляли сумму сил, которая равна нулю, то наше тело двигаться не может, поэтому мы говорим, что до середины (середина выбрана для симметрии) расчетной точки наша внешняя сила должна иметь добавочный член, который будет разгонять тело, а после середины этот добавочный член должен изменить знак и тормозить тело. В итоге работа этих добавочный членов сократится, тем самым мы проанализировали как работают наши мускулы, когда мы медленно подвешиваем груз к пружине.