Динамика. Движение механической системы

[Traper]

Здравствуйте, помогите разобраться:


Дано:
$m_1 = 3m, m_2 = 2m, m_3 = m;$
$r_2 = r, r_3 = 2r, R_3 = 3r, i_3 = r\sqrt{5};$
$k = 0.1r$

Найти:
$w_2; w_3; V_c; T - ?$

Решение:
$w_2 = \frac{V_1}{r_2} = \frac{V_1}{r}$

$V_c = w_2 r_2\frac{r_3}{R_3} = V_1\frac{r_3}{R_3} = \frac{V_1}{r}$

$w_3 = \frac{V_c}{r_3} = \frac{V_1}{3r}$

$T = T_1 + T_2 + T_3$

где
$T_1 = \frac{m_1 V_1^2}{2} = \frac{3mV_1^2}{2}$ - поступательное движение

$T_2 = \frac{J_2 w_2^2}{2} = \frac{mV_1^2}{2}$ - вращательное движение

$T_3 = \frac{m_3 V_c^2}{2}+\frac{J_3 w_3^2}{2} = \frac{mV_1^2}{2r^2}+\frac{5mV_1^2}{18}$ - плоское движение

где
$J_2 = \frac{m_2 r_2^2}{2} = mr^2$ - момент инерции катка (2) относительно оси O

$J_3 = m_3 i_3^2 = 5mr^2$ - момент инерции блока (3) относительно оси C.

Так как в $T_3$ у меня остаётся в знаменателе $r^2$, я уверен, что где-то закралась ошибка.
Подскажите, пожалуйста, правильно ли я нашёл $V_c$ и всё остальное?

[arseniiv]

В $V_c = \dfrac{V_1}r$ размерности и правда не сходятся.

[AnatolyBa]

$V_1\frac{r_3}{R_3} = \frac{V_1}{r}$ конечно описка, но и $V_c = w_2 r_2\frac{r_3}{R_3}$ непонятно откуда. И что такое $i_3$ и $k$?

[Traper]

Вопрос как раз заключается в том, правильна ли формула - $V_c = w_2 r_2 \frac{r_3}{R_3}$, рассуждал так: знаю, что, если бы нить связывала тело 2 с малым радиусом тела 3, который катится по поверхности, тогда формула была бы $V_c = w_2 r_2$, но так как нить связана с бОльшим радиусом, то добавил $\frac{r_3}{R_3}$.
Теперь знаю, что я не прав, но не понимаю как нужно учесть то, что нить связана с бОльшим радиусом, а тело катится опираясь на меньший радиус.

$i_3$ - радиус инерции тела 3 относительно горизонтальной оси, проходящей через его центр тяжести
$k$ - коэффициент трения качения, но на данном этапе он не нужен.

В остальном у меня всё правильно $(T_1, T_2, J_2, J_3)$ ?

[Munin]

$\omega$ неправильно писать как $w$ - это совершенно разные буквы.

[AnatolyBa]

$P$ - мгновенная ось вращения, точка $P$ неподвижна. Верхняя точка (у вас не обозначено) движется со скоростью $V_1$.
Тогда скорость $V_C=V_1 \frac{r_3}{R_{3} + r_{3}}$
Относительно остального - я явных ошибок не вижу, но детали проверять, пожалуй, не буду.

[Traper]

Помогите, пожалуйста, разобраться с формулой силы трения $F_\text{тр}$ для тела 3:
1) Уравнение плоского движения:
$m_3 \vec{a}_c = S_2 + \vec{N}_3 + \vec{F}_\text{тр}+\vec{P}_3$

в проекции на ось Х:

$m_3 a_c = S_2-F_\text{тр}$
где
$m_3 = m, a_c = \frac{2 a_1}{5}=0.272mg, S_2=0.28mg$
тогда
$F_\text{тр}=0.28mg-0.272mg=0.008mg$ - скорее всего неверно

2)
$J_3 \varepsilon_3 = -M_c+F_\text{тр} r_3+S_2 R_3$

где
$J_3 = 5mr^2, \varepsilon_3 = \frac{a_c}{r_3}=\frac{a_1}{5r}=\frac{0.136g}{r}, M_c = 0.1rmg, r_3 = 2r, S_2 = 0.28mg, R_3 = 3r$

тогда
$F_\text{тр} = -0.03mg$


И по Даламберу
3) как и (1)
$S_2 - \text{Ф}_3 - F_\text{тр} = 0$

где
$\text{Ф}_3 = m_3 a_c$ - главный вектор

тогда
$F_\text{тр} = 0.008mg$ - ответ как и в (1)

4) как и (2)

$M_3^\text{ин} + M_c - F_{fr} r_3 - S_2 R_3 = 0$

где
$M_3^\text{ин} = J_3 \varepsilon_3$ - главный момент сил инерции

тогда
$F_\text{тр} = -0.03mg$ - ответ как и в (2)

Очевидно, я неверно вывожу формулы. Подскажите, пожалуйста, какими должны быть формулы.

[Traper]

Неужели никто не поможет.
Посмотрите, пожалуйста, на тело 3 с рисунка постом выше, и подскажите, правильно ли я вывел формулы:
1)$m_3 a_c = S_2 - F_\text{тр}$;
2)$J_3 \varepsilon_3 = -M_c+F_\text{тр} r_3 + S_2 R_3$.

[AnatolyBa]

Лучше бы ставить вопрос иначе. Сначала разобраться в том что происходит а затем переходить к формулам.
Первый подход у вас в принципе правильный, но правильно ли значение $a_c$, я сказать не могу. Я так понимаю, вы решили задачу и нашли его как то (решили уравнение Лагранжа?), но не допустили ли ошибку? Я не знаю. А почему вы полагаете, что ответ не верен?
Второй подход вы не объяснили. Что такое $M_c$? В какой системе отсчета записываете уравнения?

[Traper]

1) Значение $a_c$ вычислял так:
$V_c=V_1 \frac{r_3}{R_3+r_3} = \frac{2}{5} V_1$ - с этой формулой помогли мне Вы в посте 6,
тогда, $a_c = \frac{2}{5} a_1$.
$a_1$ вычислял так:
$T = T_1 + T_2 + T_3$
$T_1 = \frac{3mV_1^2}{2}$
$T_2 = \frac{mV_1^2}{2}$
$T_3 = \frac{9mV_1^2}{50}$

$T = (3m+m+\frac{9m}{25})\frac{V_1^2}{2} = m^\text{пр} \frac{V_1^2}{2}$
где
$m^\text{пр} = \frac{109m}{25} = 4.36$
Сумма элементарных работ всех внешних сил:
$\sum \delta A^e = P_1 \delta S_1 - M_c \delta \varphi_3 = 3mg\delta S_1 - kmg \frac{\delta S_1}{5r} = 2.98mg \delta S_1$
где
$M_c = k N_3 = k P_3 = kmg, k = 0.1r$ - пара сил сопротивления качению тела 3.
$\delta \varphi_3 = \frac{\delta S_1}{5r}$ - элементарный поворот тела 3. Основано на $\omega_3 = \frac{V_1}{R_3 + r_3} = \frac{V_1}{5r}$.

тогда по теореме об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме:
$a_1 = \frac{2.98mg}{4.36m} = 0.68g$.

$J_2 \varepsilon_2 = S_1 r_2 - S_2 r_2$ - дифференциальное ур-е вращательного движения тела 2.
$S_1 = m_1 (g - a_1) = 3m (g - 0.68g) = 0.96$ - дифф. ур. поступательного движения тела 1.
тогда
$S_2 = \frac{0.96mgr - 0.68gmr}{r} = 0.28mg$

Ответ $F_\text{тр} = 0.008mg$ - считаю неверным, потому что не нравится значение 0.008 и при этом ответ должно совпадать с ответом второго уравнения.

2) Дифференциальное уравнение плоского движения:
$J_3 \varepsilon_3 = - M_c + F_\text{тр} r_3 + S_2 R_3$
где
$M_c = k N_3 = k P_3 = kmg, k = 0.1r$ - пара сил сопротивления качению тела 3.

$F_\text{тр} = -0.03$ - ответ ещё хуже


Склоняюсь к тому, что оба ответа неверны (уж очень они не красивые ).

[AnatolyBa]

Такой подход к трению качения мне не знаком, но это неважно, думаю вы правы.
Проверьте все вычисления. Посчитайте с большей точностью. У вас получается маленький ответ как разность двух относительно больших значений. Здесь низкая точность вычислений может сильно помешать.
Не бойтесь отрицательного значения для силы трения. Это выглядит странно, но если подумать, то вполне возможно

[Батороев]

Traper
На мой взгляд, Ваш ход решения задачи сомнительный.
Общий подход к решению таких задач заключается в составлении уравнения равенства суммы энергий совершенной работе. Для расчета работы, как правило, задаются перемещением $s$, а затем указанное выше равенство дифференцируют по $t$.

-- 20 окт 2016 10:45 --

Извиняюсь, не дочитал до конца все Ваши сообщения.

-- 20 окт 2016 11:24 --

Traper в сообщении #1160455 писал(а):

$N_3$ должна отстоять вправо на $k$ от линии действия силы $P_3$.

-- 20 окт 2016 11:27 --

Traper в сообщении #1161028 писал(а):

Ответ $F_\text{тр} = 0.008mg$ - считаю неверным, потому что не нравится значение 0.008 и при этом ответ должно совпадать с ответом второго уравнения.

Влияние силы трения качения действительно всегда невелико. Иногда в подобных расчетах им пренебрегают.