История России в неравенствах

[arqady]

Пусть $a$, $b$ и $c$ неотрицательные числа, для которых $a^{1725}+b^{1725}+c^{1725}\geq a^{1991}+b^{1991}+c^{1991}$. Докажите, что:

$$a^{1584}+b^{1584}+c^{1584}\geq a^{1953}+b^{1953}+c^{1953}$$

[sergei1961]

Возможное решение при помощи "большой науки".

1. Определение. Средними Джини (Коррадо Джини, знаменитый итальянский математик и статистик) для неотрицательного набора чисел $a_1,\dots,a_n$ называются величины

$$ Gi_{p,q}(a)=(\frac{a_1^p+\dots +a_n^p}{a_1^q+\dots +a_n^q})^{\frac{1}{p-q}} $$

2. Основное неравенство для средних Джини.

$$ Gi_{p_1,q_1}(a) \le Gi_{p_2,q_2}(a) $$

при условиях $p_1>q_1, p_2>q_2, p_2\ge p_1, q_2 \ge q_1$.

3. Теперь всё просто:

$$ Gi_{1953,1584}(a,b,c) \le Gi_{1991,1725}(a,b,c) \le 1. $$

Отсюда видны и возможные границы "перемены дат".

[Sergic Primazon]

Пусть $f (\alpha)= a^\alpha +b^\alpha+c^\alpha$

$$ f (1725) \ge f (1991) $$

По Гельдеру:

$$ f (1725) \ge f(1725)^\Delta\cdot f (1991)^{1-\Delta} \ge f (1725\Delta+1991 (1-\Delta)), (0 \le \Delta \le 1)$$

$$\Rightarrow f (1725) \ge f (1953) $$

Пусть $ f (1953) > f (1584) $. Тогда:

$$ f (1953) > f (1953)^\Delta \cdot f (1584)^{1-\Delta} \ge f (1953 \Delta+ 1584 (1-\Delta))$$

$$\Rightarrow f (1953) > f (1725) $$

[arqady]

Что-то потруднее.
Пусть $a$, $b$ и $c$ неотрицательные числа, для которых $a^2+b^2+c^2\geq a^3+b^3+c^3$. Докажите, что:

$$3+a^2+b^2+c^2\geq2(a^4+b^4+c^4)$$

[sergei1961]

Решить не получается. Намекните, пожалуйста, каков первый шаг, интересно. А что даты для России какие-то невесёлые, очернительские (это шутка).

[svv]

sergei1961, что Вы!
1584 - основан город Архангельск — первый морской порт России.
1725 - прошло первое научное заседание Петербургской академии наук.
1953 - восстановление дипломатических отношений между СССР и Израилем.
1991 - осуществлён запуск космического корабля «Союз ТМ-12».
(из Вики)

[Sergic Primazon]

arqady в сообщении #1147909 писал(а):

Что-то потруднее.
Пусть $a$, $b$ и $c$ неотрицательные числа, для которых $a^2+b^2+c^2\geq a^3+b^3+c^3$. Докажите, что:

$$3+a^2+b^2+c^2\geq2(a^4+b^4+c^4)$$

1.
$ 0 \le (a^2-a^3)+ (b^2-b^3)+(c^2-c^3) \le (a^2-a^3)+ \frac{4}{27}+\frac{4}{27} \Rightarrow a < \frac{4}{3}$

т.е. из $a^2+b^2+c^3 \ge a^3+b^3+c^3 \Rightarrow 0 \le a < \frac{4}{3}$

2.
$2x^4 \le 1+ x^2+6(x^3-x^2)$ при $0 \le x \le \frac{1+\sqrt{3}}{2}$, $\left (\frac{1+\sqrt{3}}{2} > \frac{4}{3} \right ) $

$$2(a^4+b^4+c^4) \le 3+ (a^2+b^2+c^2)-6 \left( (a^2+b^2+c^2)-(a^3+b^3+c^3) \right) \le 3+ (a^2+b^2+c^2)$$

равенство при : $a=b=c=1$