Вероятность попадания случайно величины в интервал

[NEvOl]

Помогите решить задачку.
Случайная величина $X$ имеет нормальное распределение с математическим ожиданием $a=25$. Вероятность попадания $X$ в интервал $(10; 15)$ равна $0.09$. Чему равна вероятность попадания $X$ в интервал $(30; 35)$? Пытаюсь найти $\sigma$ из уравнения $\Phi(\frac{15}{\sigma})-\Phi(\frac{10}{\sigma})=0.18$ но не совсем понимаю как его решать, ведь значения $\Phi(x)$ берутся из таблицы. Подскажите пожалуйста.

[GAA]

NEvOl в сообщении #1157284 писал(а):

Помогите решить задачку.
Пытаюсь найти $\sigma$ из уравнения $\Phi(\frac{15}{\sigma})-\Phi(\frac{10}{\sigma})=0.18$

Проверьте, пожалуйста, правильно ли составлено уравнение. Может быть потеряно $a$? И почему 0.18?

NEvOl в сообщении #1157284 писал(а):

но не совсем понимаю как его решать, ведь значения $\Phi(x)$ берутся из таблицы.

Можно попробовать численно (например в каком-то пакете) или подбором по таблице.

[NEvOl]

я решал так: т.к. распределение нормальное то
$P(10<X<15)=\frac{1}{2}(\Phi(\frac{15-25}{\sigma})-\Phi(\frac{10-25}{\sigma}))=\frac{1}{2}(\Phi(\frac{-10}{\sigma})-\Phi(\frac{-15}{\sigma}))=\frac{1}{2}(\Phi(\frac{15}{\sigma})-\Phi(\frac{10}{\sigma}))=0.09$
значит $\Phi(\frac{15}{\sigma})-\Phi(\frac{10}{\sigma})=0.18$ Есть еще одна часть задачки, найти вероятность попадания случайно величины в интервал $(35; 40)$, но тут из-за симметрии относительно $a=25$ получаем что вероятность тоже 0.09. Может это упрощает дело ?

[svv]

У Вас для $\Phi$ какое определение? Не понимаю, откуда и зачем коэффициент $\frac 1 2$.
И есть ли у Вас таблица $\Phi$?

[GAA]

NEvOl
1. Я привык через $\Phi$ обозначать функцию стандартного нормального распределения. У Вас через $\Phi$ обозначена «функция ошибок»: $\mathop{\mathrm{erf}}x = \frac {2}{\sqrt {\pi}} \int_0^x \exp(-t^2) dt$ ?

2. Да, если есть симметрия, то не надо искать $\sigma$.

[NEvOl]

Вероятность попадания случайно величины $X$ в интервал $[x_1, x_2]$, равна
$P(x_1<X<x_2)=\frac{1}{2}(\Phi(\frac{x_2-a}{\sigma})- \Phi(\frac{x_1-a}{\sigma}))$ где $\Phi$ функция Лапласа. Таблица значений есть :)

[svv]

Не ссылайтесь на термин, напишите определение, которым Вы пользуетесь. Вопрос серьёзный: если подразумевается стандартное определение, Вы регулярно пропускаете $\sqrt 2$ в знаменателе аргумента.

-- Вт окт 04, 2016 22:06:33 --

Т.е.
или $P(x_1<X<x_2)=\Phi(\frac{x_2-a}{\sigma})- \Phi(\frac{x_1-a}{\sigma})$,
или $P(x_1<X<x_2)=\frac{1}{2}(\operatorname{erf}(\frac{x_2-a}{\sigma\sqrt 2})- \operatorname{erf}(\frac{x_1-a}{\sigma\sqrt 2}))$

[GAA]

svv, думаю, так, как функция Лапласа определяется, например, в "Сборнике задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций " под ред. Свешникова:

$\Phi (x) = \frac {2}{\sqrt {2 \pi}} \int_0^x \exp(-t^2/2) dt.$

[svv]

Ясно, спасибо.

[GAA]

Просто на всякий случай. В книге Бернштейна «Теория вероятностей» ещё одно обозначение:

$\Phi (x) = \frac {1}{\sqrt {2 \pi}} \int_0^x \exp(-t^2/2) dt.$

При этом в книге Свешникова легко отправляют за таблицей и к книге Бернштейна, и к другим книгам, где $\Phi (x)$ обозначает несколько другое. Но во всех хороших книгах перед таблицей даётся определение $\Phi (x)$ и внимательный читатель не ошибётся.

[svv]

Вот у Вас (у Бернштейна) хорошее определение. Если пользоваться им, то
$P(x_1<X<x_2)=\Phi(\frac{x_2-a}{\sigma})- \Phi(\frac{x_1-a}{\sigma})$
Тогда что надо для решения задачи: найти в таблице два таких значения $u_1, u_2$, что
$\begin{cases}u_2=1.5 u_1\\\Phi(u_2)=\Phi(u_1)+0.09\end{cases}$
Я такие нашёл в своей таблице за полминуты.

Если таблица $\Phi$ в смысле Свешникова, то $...+0.18$.

[NEvOl]

Спасибо, решение подбором, сработало.