Интегрирование по импульсу с дельта-функцией

[Ascold]

Не будучи математиком, застрял в выкладках. Пескин и Шредер пишут (4.81-4.82), что

$$\int\frac{dp_1p_1^2d\Omega}{16\pi^2E_1E_2}\delta(E-E_1-E_2)=\int\frac{dp_1p_1^2d\Omega}{16\pi^2E_1E_2}(\frac{p_1}{E_1}+\frac{p_2}{E_2})^{-1},$$

где

$$E_1=\sqrt{p_1^2+m_1^2}$$

и

$$E_2=\sqrt{p_1^2+m_2^2}.$$

Мне известно, что

$$\int\delta(f(x)-f(x_0))dx=1/|f'(x_0)|,$$

но, во-первых, в исходной формуле есть ещё и $p_1^2$ вне дельта-функции, да и что считать за $f(x)$?
$E$ - это исходная энергия до рассеяния, записанная в Ц-системе отсчёта. Поэтому явной функцией $p_1$ она не является.

[amon]

Ascold в сообщении #1157337 писал(а):

Мне известно, что

$$\int\delta(f(x)-f(x_0))dx=1/|f'(x_0)|,$$

А мне - чуть другое:

$$\int\varphi(x)\delta(f(x))dx=\sum_{x_0} \frac{\varphi(x_0)}{|f'(x_0)|}, $$

где $x_0$ - корни: $f(x_0)=0$.

[Ascold]

Благодарю за формулу. Кстати, где можно найти её вывод, не подскажете?
Задам ещё один вопрос - про формулу(4.83). Авторы пишут, что она получается для реакций, симметричных относительно оси столкновения, мне же почему-то кажется, что она верна всегда, получается интегрированием по $d\phi,$ поскольку $d\Omega=sin\theta d\phi d\theta$ - появилось из якобиана $d^3p_1 \to p_1^2sin\theta dp_1d\phi d\theta$. В формуле (4.82) множителей, потенциально зависящих от $\phi,$ нету, так зачем тогда нужна оговорка о симметрии реакции относительно оси столкновения?

[amon]

Ascold в сообщении #1157477 писал(а):

В формуле (4.82) множителей, потенциально зависящих от $\phi,$ нету, так зачем тогда нужна оговорка о симметрии реакции относительно оси столкновения?

В формуле (4.82) авторы остроумно оставили только меру интегрирования, а на самом деле, считается-то эта мера, умноженная на квадрат модуля матричного элемента. Если этот квадрат не стучит углами не зависит от $\phi$ (рассеяние симметрично), то будет как написано, а если нет (рассеяние на половинке цилиндра), то по $\phi$ интегрировать меру нельзя.

-- 05.10.2016, 14:45 --

Ascold в сообщении #1157477 писал(а):

Кстати, где можно найти её вывод, не подскажете?

Здесь. Да, в "моей" формуле все нули должны быть простые.

[Ascold]

Спасибо, книжку по обобщённым функциям почитаю.

Цитата:

В формуле (4.82) авторы остроумно оставили только меру интегрирования, а на самом деле, считается-то эта мера, умноженная на квадрат модуля матричного элемента.

Тогда это вот отделение меры озадачивает - ведь раз матричный элемент - это

$$M(P_a,P_b \to \{p_f\})$$

и по своему определению (4.73) должен быть функцией хотя бы от модулей от импульсов $P_a,P_b, p_f$, раз уж мы рассматриваем случай изотропного рассеяния. Или нет?

[Munin]

amon в сообщении #1157496 писал(а):

Здесь.

Александров В. А. Обобщённые функции. ФФ НГУ (конспект лекций по теме), 2005. 45 страниц.

[amon]

Munin, спасибо!
Торопился и ссылку явно не указал, виноват.

[Ascold]

amon и остальные участники - а всё-таки что Вы думаете о матричном элементе, было бы интересно узнать - мой вопрос в этой теме от 05.10.16 в 17:00?

[Munin]

Ссылку на конкретное сообщение можно найти, если щёлкнуть правой кнопкой мыши на значок справа сверху. У меня, например, другой часовой пояс.

[amon]

Ascold в сообщении #1157504 писал(а):

и по своему определению (4.73) должен быть функцией хотя бы от модулей от импульсов $P_a,P_b, p_f$

Разумеется, должен. Но в соответствующем куске Вашего замечательного учебника (чувствую, что заставите меня его прочитать ;) речь идет об интегрировании выражения (4.81). Интегрирование по $dp_1$ снимается $\delta$-функцией, поэтому не важно, на что еще там домножалось $\int d\Pi_2$, а из всего остального был сделан $\int d\Omega$. Тогда то, что стоит под интегралом будет равно $\frac{d\sigma}{d\Omega}$, что и написано в (4.84).