7 человек в лесу

[daogiauvang]

7 человек в лесу собирают $n$ грибов, посколько число набранных грибов у всех разное. Найти $n$ максимальное значение чтобы для всех случаев существует 3 человек, которые собирают не менее $\frac{n}{2}$ грибов.

По моему прогнозу: пусть количество $7m$ грибов то в случае $3m+6 \geq \frac{7m}{2}$. т.е. $m \leq 12$ Мы получаем $n\leq 84$.
P/s: Я исправил задание. Спасибо за откорректировку.

[provincialka]

Формулировка корявая. Что значит "посколько попарно собирают разное количество грибов"? Имеется в виду, что число набранных грибов у всех разное?
По решению: общее число грибов не обязательно кратно 7

-- 03.10.2016, 10:58 --

Хм... Исправили, но слово "посколькУ" тут ни к чему, даже если его написать правильно. Или имеется в виду "по сколько"?

Кроме того, чего вы хотите от нас? Чтобы мы проверили ваше решение? Или предложили своё?

[daogiauvang]

provincialka в сообщении #1156792 писал(а):

Формулировка корявая. Что значит "посколько попарно собирают разное количество грибов"? Имеется в виду, что число набранных грибов у всех разное?
По решению: общее число грибов не обязательно кратно 7

-- 03.10.2016, 10:58 --

Хм... Исправили, но слово "посколькУ" тут ни к чему, даже если его написать правильно. Или имеется в виду "по сколько"?

Кроме того, чего вы хотите от нас? Чтобы мы проверили ваше решение? Или предложили своё?

1. Предложения решений.
2. Прощу прощение, я не русский поэтому я выбрал неподходящие слова.

[provincialka]

А! Не русский -- тогда понятно. А на каком языке была сформулирована задача?

Надеюсь, ваша задача не с текущей олимпиады?

По решению такие предложения. Обозначим наибольшее $n$ за $N$.

1. Доказать, что для $n \leqslant N$ такие три человека всегда есть. Например,привести пример.
2. Доказать, что для $n> N$ при каком-то распределении грибов условие нарушается.

Второе вы попытались сделать, но не совсем строго, так как $n$ не обязательно имеет вид $7m$. И далее рассуждения слишком краткие.

UPD. Про "пример" относится скорее к п. 2

[DeBill]

daogiauvang
Из Ваших неравенств следует, что уже $n=91$ не подходит. А 90, видимо, все же годится.
Можно попробовать так: перекладывать грибы из кучки в кучку с целью минимизации суммы трех наибольших. В конце придем к вполне конкретной расстановке, для которой , вроде бы, будет равенство....
А, уже написали....

[daogiauvang]

Я пытался как доказать минимальное значение 3 наибольших когда грибы собирали вокруг среднему значению. При этом я нашел $n \leq 102$.
DeBill ваш метод я не понял. Можно провести пример.

[Geen]

DeBill
94 подходит...

[grizzly]

Geen в сообщении #1156829 писал(а):

94 подходит...

¿Так а что насчёт озвученного:

daogiauvang в сообщении #1156826 писал(а):

...$102$.

(и как это решать, а не подбирать?)

[Geen]

Интересно, если в условии потребовать сумму по двум людям - будет интереснее или это будет подсказка?

[grizzly]

Geen в сообщении #1156834 писал(а):

или это будет подсказка?

Это олимпиадный раздел.
(не вникая в подсказку) Если правильный ответ -- 108, тогда мне и самому примерно понятно, как решать

[Geen]

grizzly в сообщении #1156837 писал(а):

Если правильный ответ -- 108

Ну у меня столько же получается

[Geen]

Кажется, задача получается интереснее, если взять не 7, 8 человек (остальные условия теже).

[DeBill]

Упс... Зачем то хотел, чтобы "для всех, не больших $n$ чтоб было хорошо...
daogiauvang
Ну давайте посмотрим, когда сумму самых больших нельзя уменьшить (с сохранением общей суммы, и различности). Это - когда между числами - не более одной дырки, и она - единичного размера. При этом: доля трех самых больших среди всех будет наибольшей, если эта дырка - сразу за тремя самыми большими. Соответствующее неравенство и дает правильный ответ 108 (а поскольку здесь имеет место равенство, то предыдущее замечание делается корректным)

[waxtep]

Очень долго тупил, но, кажется, можно и так: пусть $n=7m+r, 0\leq r\leq6$. Тогда, наихудший набор четырех грибников собравших меньшее количество грибов ("левых") будет $\{m-3,m-2,m-1,m\}$, а, полный набор в этом случае можно записать как $\{m-3,m-2,m-1,m,m+1+a_1, m+2+a_1+a_2,m+3+a_1+a_2+a_3\}$, где $a_i\geq0$. Условие задачи сводится к $m\leq12+3a_1+2a_2+a_3$; с другой стороны, должно быть $3a_1+2a_2+a_3<4$ - иначе мы бы спокойно смогли добавить к $m$ единичку и еще ухудшить количество грибов у "левых" грибников. Значит, $m\leq15$ и максимальное $n=108$, с тремя вариантами "самых трудных" наборов: $\{12,13,14,15\}$ у "левых" грибников и $\{16,17,21\}$ или $\{16,18,20\}$ или $\{17,18,19\}$ у "правых".

-- 04.10.2016, 03:04 --

Хмммм, однако, для $8$ грибников этот метод не работает: он дает ответ $80$, но, набор $\{6,7,8,9,11,12,13,14\}$ его разрушает; интересно... реальный ответ, видимо, $71$, с одним из вариантов $\{5,6,7,8,9,11,12,13\}$.

[Geen]

waxtep в сообщении #1157083 писал(а):

интересно... реальный ответ, видимо, $71$

Нет, немного больше