Точные степени из всех 10 цифр

[Ktina]

Используя каждую из десяти цифр ровно один раз, составили пять двузначных чисел, а затем сложили получившиеся числа.
Сколько точных степеней (квадратов, кубов и т. д.) можно получить таким образом?

[svv]

Ну, просто составить список чисел, которые могут получиться ($180+9n$, где $n=0..20$) и посмотреть, сколько из них точных степеней.

[Masik]

Легко подсчитать, что сумма не может быть меньше 180 или больше 360. Кроме того, сумма должна делиться на 9. Подходят всего 4 числа:$3^5 = 243, 6^3 = 216, 15^2 = 225, 18^2 = 324$. Наверняка, каждое из них можно построить.
Если двузначные числа допускают ведущий 0, то ещё добавляется $12^2 = 144.

[svv]

Masik в сообщении #1156716 писал(а):

Наверняка, каждое из них можно построить.

Чтобы не было сомнений.
Собственно, надо убедиться, что сумма четырёх различных ненулевых цифр в разряде единиц может принимать любое значение от $1+2+3+4$ до $6+7+8+9$.
Начиная с $(1,2,3,4)$, на каждом ходу увеличиваем наибольшую цифру на $1$, пока она не достигнет $9$. Когда достигла, начинаем увеличивать наибольшую из оставшихся, пока не достигнет $8$. И так далее. Так на каждом ходу сумма увеличивается на $1$ и все цифры различны.

[Masik]

Masik в сообщении #1156716 писал(а):

Наверняка, каждое из них можно построить.

Из уравнения $9(x+5) = 216$ получаем x = 19$. Например, $10 + 32 + 47 + 58 + 69 = 216$.
Из уравнения $9(x+5) = 225$ получаем x = 20$. Например, $10 + 32 + 46 + 58 + 79 = 225$.
Из уравнения $9(x+5) = 243$ получаем x = 22$. Например, $10 + 32 + 54 + 68 + 79 = 243$.
Из уравнения $9(x+5) = 324$ получаем x = 31$. Например, $40 + 51 + 62 + 73 + 98 = 324$.

[Ktina]

svv
Masik
Спасибо!