Как свести к эллиптическим интегралам?

[Maylo]

Надо найти $\int\sqrt{\cos {2x}} dx$ Что-то он мне сразу не понравился

После нескольких неудачных попыток заподозрил, что он не берется в элементарных функциях, а должен сводиться к эллиптическим. В умной книжке (*) нашел, что

$\int\sqrt{1-p^2\sin^2 x} dx = pE(t,\frac 1 p)-\frac {p^2-1} p F(t,\frac 1 p)$

Здесь $p^2>1, t=\arcsin {(p\sin x)}$

Все должно получаться, если положить $p=\sqrt 2$

Проблема в том, что я не только не могу сам вывести указанную формулу (это бы еще полбеды...), но и не могу проверить ее дифференцированием - ну, не совпадают правые и левые части! Или я совсем дифференцировать разучился?

Люди добрые, помогите, кто чем может!

-----------
(*) - Градштейн, Рыжик, 2.595.2 (стр. 186)

[Someone]

Mathematica 5.1 даёт

$$\int\sqrt{\cos 2x}dx=\mathbf E(x,2)+C\text{.}$$

Но $\mathbf E(x,2)$ - это ведь и есть обозначение для

$$\int\limits_0^x\sqrt{1-2\sin^2\varphi}d\varphi\text{.}$$

[Maylo]

Это, конечно, я и сам понимаю... Вот только интересуют классические эллиптические интегралы, а в них 0<k<1.

[GAA]

Чтобы получить приведенную в [*] формулу достаточно выполнить указанную там замену $x = \arcsin(1/p\sin{t})$, и выразить результат через эллиптические интегралы 1-го и 2-го рода:
$F(k,x) = \int{\frac{dx}{\sqrt{1-k^2\sin^2{x}}}}, E(k,x) = \int{\sqrt{1-k^2\sin^2{x}}dx}$, 0<k<1.