Простое док-во

[sa233091]

Требуется просто и быстро доказать, что $\[\pi (n) < \frac{n}{{10}}\]$ при достаточно больших $\[n\]$.
При том док-во не должно использовать только тот материал, который вы можете самостоятельно вывести и доказать
(не надо приводить док-ва, использующие оценку распределения простых как $\[\frac{n}{{\ln (n)}}\]$, даже если вы можете это доказать)

[mihaild]

(Если можно пользоваться калькулятором)

то можно посчитать произведение $\prod\limits_p \left(1 - \frac{1}{p}\right)$ по первым простым числам, обнаружить, что оно для $257$ уже меньше $\frac{1}{10}$ (тут можно обойтись без подсчета, если как-то получить расходимость $\sum\frac{1}{p}$) (обозначим за $x$ какое-нибудь число между этим произведением и $\frac{1}{10}$). Т.к. $\varphi(p_{257}\#) = x \cdot p_{257}\#$, то на интервалах $[p_{257}\#, 2p_{257}\#), [2p_{257}\#, 3p_{257}\#)$ и т.д. доля простых чисел не превосходит $x$.
Набираем таких интервалов $k$ штук - достаточно много, чтобы число простых чисел на этих интервалах плюс $2p_{257}\#$ всё равно было меньше $\frac{1}{10}$ от суммарной длины набранного. Тогда для чисел больших $k p_{257}\#$ нужное свойство выполнено: все числа от $1$ до $n$ разбиваются на интервалы $[1; p_{257}\#), [p_{257}\#; kp_{257}\#), [kp_{257}\#; mp_{257}\#), [mp_{257}\#; n]$, где длина последнего интервала меньше $p_{257}\#$. В результате на первом и последнем интервале простых чисел не больше $2p_{257}\#$ - так что общая доля простых в первых двух плюс последнем интервале не превосходит $\frac{1}{10}$. Доля простых чисел в третьем интервале тоже меньше $\frac{1}{10}$.

Правда всё равно получаются какие-то подсчеты + очень плохая оценка.

[sa233091]

mihaild в сообщении #1155913 писал(а):

Правда всё равно получаются какие-то подсчеты + очень плохая оценка

Ну идея верная, только хотелось бы более красивого решения (не притянутого за уши, а интересного и лаконичного)

-- 30.09.2016, 10:06 --

Лично я думал вспомнить про то, что
$\[\frac{{{p_1}}}{{{p_1} - 1}}\frac{{{p_2}}}{{{p_2} - 1}}...\frac{{{p_k}}}{{{p_k} - 1}} \sim 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n}(k = \pi (n))\]$
А далее $\[\pi (n) \sim \frac{n}{{10}}\]$ и из этого получить, что гармонический ряд будет расходиться слишком быстро. Из чего получаем противоречие. Но у меня ничего не вышло(

[wrest]

А нельзя ли как-то показать, что решетом Эратосфена отсеивается все больше и больше, и когда-то обязательно начнёт отсеиваться больше 90% чисел?

[ИСН]

Они ровно это и делают.

[mihaild]

mihaild в сообщении #1155913 писал(а):

если как-то получить расходимость $\sum\frac{1}{p}$

Можно сразу произведение: $\prod\limits_{p < n} \left(1 - \frac{1}{p}\right) = \prod\limits_{p < n} \sum\limits_{k=0}^\infty p^k = \sum\limits_{m, \text{у m все делители меньше n}} \frac{1}{m} \geqslant \sum\limits_{m=1}^{n-1} \frac{1}{m}$ - расходится.

[vorvalm]

Доказательство элементарное.

$y=\pi(n)$
$x=0,1n$

Первая функция нелинейная монотонно возрастающая.
Вторая функция линейная.
Эти функции имеют одну общую точку.
Эта точка лежит между $p_n=64513$ и $p_{n+1}=64553$,
при $\pi(p_n)=6453$

[gris]

vorvalm, априорно можно сказать только о монотонном возрастании, но не о выпуклости. А без выпуклости как рассуждать о пересечении?

[mihaild]

vorvalm в сообщении #1156013 писал(а):

Эти функции имеют одну общую точку.

Почему?
И в любом случае этого недостаточно.

[vorvalm]

gris в сообщении #1156019 писал(а):

априорно можно сказать только о монотонном возрастании, но не о выпуклости. А без выпуклости как рассуждать о пересечении?

По асимтотическому аналогу.

-- Пт сен 30, 2016 15:47:35 --

mihaild в сообщении #1156020 писал(а):

Почему?
И в любом случае этого недостаточно.

По теореме о "двух милиционерах"

[mihaild]

vorvalm в сообщении #1156032 писал(а):

По асимтотическому аналогу.

Просили же без ссылки на асимптотику $\pi(x)$.

vorvalm в сообщении #1156032 писал(а):

По теореме о "двух милиционерах"

А она тут причем? Где тут хоть какие-то пределы?

[vorvalm]

mihaild в сообщении #1156037 писал(а):

Где тут хоть какие-то пределы?

Надо рассматривать отношения $\frac{10\pi(n)}{n}$ слева и справа
от простых чисел 64513 и 64553

-- Пт сен 30, 2016 16:26:01 --

vorvalm в сообщении #1156047 писал(а):

Просили же без ссылки на асимптотику .

Зто не ссылка, но просто напоминание.

[sa233091]

vorvalm в сообщении #1156013 писал(а):

Первая функция нелинейная

Почему?

[mihaild]

vorvalm в сообщении #1156047 писал(а):

Надо рассматривать отношения $\frac{10\pi(n)}{n}$ слева и справа

И причем тут лемма о зажатой переменной?
Ну и пусть даже $\pi(n) = \frac{n}{10}$ для некоторого $n$. Что дальше-то?

sa233091 в сообщении #1156105 писал(а):

Почему?

Например потому что $\pi(2) = 1, \pi(3) = 2, \pi(4) = 2$.

[vorvalm]

mihaild в сообщении #1156107 писал(а):

vorvalm в сообщении #1156047 писал(а):

Надо рассматривать отношения $\frac{10\pi(n)}{n}$ слева и справа

И причем тут лемма о зажатой переменной?
Ну и пусть даже $\pi(n) = \frac{n}{10}$ для некоторого $n$. Что дальше-то?

sa233091 в сообщении #1156105 писал(а):

Почему?

Например потому что $\pi(2) = 1, \pi(3) = 2, \pi(4) = 2$.

Не надо ёрничать. В усовии ТС прямо сказано "для достаточно больших $n$"

-- Пт сен 30, 2016 19:45:57 --

sa233091 в сообщении #1156105 писал(а):

vorvalm в сообщении #1156013 писал(а):

Первая функция нелинейная

Почему?

Потому, что разности между последовательными простыми числами
не имеют линейной закономерности.