Цилиндрический конденсатор

[Baskura]

Подскажите, пожалуйста, как вывести для цилиндрического конденсатора формулу поляризованности $P=(1-\varepsilon)\varepsilon_0 E$ ? Где $\varepsilon$ - проницаемость среды между обкладками; $\varepsilon_0$ - диэлектрическая постоянная, Е - напряженность электростатического поля.

Мои мысли:
по обобщенной теореме Гаусса:
$\oint\limits_{S}(EdS)=\frac{q+q'}{\varepsilon\varepsilon_0}$, q и q' - сторонние и связанные заряды соответственно

$q'=\int\limits_{V}(\rho dV)$, $\rho$ - объемная плотность заряда, V -объем;

$\oint\limits_{S}(\varepsilon\varepsilon_0 EdS)=q+\int\limits_{V}(\rho dV)$

$\oint\limits_{S}(\varepsilon\varepsilon_0 EdS)=q-\int\limits_{S}(\sigma dS)$, $\sigma$ - поверхностная плотность заряда

$PCos\alpha = \sigma$, $\alpha$ - угол между E и P

$\alpha=0$

$P = \sigma$

$\int\limits_{S}(P dS)=q-\oint\limits_{S}(\varepsilon\varepsilon_0 EdS)$

$2P\pi r=q-2\varepsilon\varepsilon_0 E\pi r$

$P=\frac{q}{2\pi r}-\varepsilon\varepsilon_0 E$

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы)
- обозначения полезно расшифровывать.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

[Munin]

Baskura в сообщении #1155833 писал(а):

$\oint\limits_{S}(\varepsilon\varepsilon_0 EdS)=q+\int\limits_{V}(\rho dV)$

$\oint\limits_{S}(\varepsilon\varepsilon_0 EdS)=q-\int\limits_{S}(\sigma dS)$, $\sigma$ - поверхностная плотность заряда

Стоп-стоп-стоп, а почему вы уверены, что связанные заряды будут только на поверхности, а в объёме не будут?

[Baskura]

А если тогда написать
$\operatorname{div} P = -\rho$

[AnatolyBa]

А почему такая постановка вопроса? Почему именно для цилиндрическоог конденсатора?
И вообще, что такое диэлектрическая проницаемость, можете дать определение?

[Munin]

Кстати, а разве $P=(1-\varepsilon)\varepsilon_0 E$ не постулируется?

[AnatolyBa]

Я, как-бы, на это намекаю, но издалека

[DimaM]

Munin в сообщении #1155886 писал(а):

Кстати, а разве $P=(1-\varepsilon)\varepsilon_0 E$ не постулируется?

Постулируется с обратным знаком. А эта формула просто неверная.

[rustot]

Baskura в сообщении #1155833 писал(а):

Подскажите, пожалуйста, как вывести для цилиндрического конденсатора формулу поляризованности

Как можно ее "вывести"? Это свойство конкретного материала и это свойство может быть любым. Некоторые материалы поляризуются примерно пропорционально величине поля $\vec{P} = k\vec{E}$. И если это так, то это никак не зависит в какой именно конструкции данный материал используется. И в этом частном случае между $\vec{E}$ и $\vec{D} = \vec{E} + 4\pi\vec{P}$ (или $\vec{D} = \varepsilon_0 \vec{E} + \vec{P}$ в СИ) можно ввести коэффициент пропорциональности $\varepsilon$ исходя из величины $k$

Непонятно при чем тут конденсатор?

[Munin]

Тогда что такое

Baskura в сообщении #1155833 писал(а):

$\alpha$ - угол между E и P

? Разве $\mathbf{E}$ и $\mathbf{P}$ не коллинеарны?

[svv]

разные авторы писал(а):

постулируется

Мне больше нравится такое построение теории (всё в СГС). Вектор $\mathbf P$ определяется как усреднённая плотность дипольного момента связанных зарядов. Из этого можно вывести (с какими-то оговорками), что $\operatorname{div}\mathbf P=-\rho_{\text{связ}}$. Затем по определению $\mathbf D=\mathbf E+4\pi\mathbf P$. Далее получаем, что $\operatorname{div}\mathbf D$ определяется только плотностью свободных зарядов, ради чего $\mathbf D$ и вводилось.

[Munin]

svv в сообщении #1156115 писал(а):

Вектор $\mathbf P$ определяется как усреднённая плотность дипольного момента связанных зарядов.

И что, от $\mathbf{E}$ никак не зависит?

[svv]

Зависит, конечно. Причём в самом важном случае как раз (СГС) $\mathbf P=\varkappa \mathbf E=\frac 1{4\pi}(\varepsilon-1)\mathbf E$. Только это ж не определение $\mathbf P$.

Но я понял. Вы под «постулируется» и не имели в виду «принимается за определение».

[Baskura]

Формула $P=(1-\varepsilon)\varepsilon_0 E$ изначально для изотропных диэлектриков. в цилиндрическом конденсаторе диэлектрик не изотропный, мне нужно доказать, почему я могу применять эту формулу для цилиндрического конденсатора.