Давно собирался предложить почтенной публике обсудить очередную вечную и, насколько мне известно, не решенную проблему квантовой механики. Мы вряд ли ее решим, но "если не догоним то хотя бы согреемся". Тянется эта история еще от П.А-М. Дирака, и время от времени она выплывает где-нибудь в оптике. Не понятно, физическая это или математическая проблема. Обзор можно посмотреть
тут (прямая ссылка на pdf статьи целиком!!!), а для затравки краткое содержание.
Вопрос звучит, собственно, так: "Что такое фаза гармонического осциллятора в квантовой механике?" В классике фаза - канонически сопряженная действию переменная. Гамильтониан осциллятора в переменных действие-угол есть
, соответственно уравнения движения будут
Стало быть, переменной
соответствует амплитуда колебаний, а переменной
- фаза, и это - канонически сопряженные переменные.
В квантовой механике классической
вроде как соответствует
, так что фаза, казалось бы, канонически сопряженная этому безобразию переменная, оператор которой должен быть эрмитов (фаза - наблюдаемая), и для этих переменных должно выполняться соотношение неопределенности вроде
. Количеству людей, наступивших на эти грабли несть числа, среди них Дирак, Пайерлс и куча других почтенных, но менее известных ученых.
Легко сообразить, что с вышеприведенным "соотношением неопределенности" имеет место какая-то бяда. При достаточно малом
я могу сделать
кратным двум пи, что соответствует тому, что эффективно
Не столь очевидная бяда с эрмитовостью оператора
. Следуя Дираку, можно представить
в виде
и объявить показатель экспоненты оператором фазы. Для корректности такого определения необходимо, что бы оператор
был унитарным
. Легко убедится, что это не так:
Последнее равенство приводит к неунитарности
, т.к.
но
.
Выходов из этой щекотливой ситуации предлагалось много. Пайерлс сказал, что ни какого оператора фазы в природе нет (как, видимо, и самой фазы, как измеряемой величины). Другие, не столь радикально настроенные ученые, пытались такой оператор сконструировать (без большого успеха), либо заявить, что наблюдаемой будет синус фазы, либо разность фаз. Однако, оказывается, что оператор синуса фазы не коммутирует с оператором косинуса той же фазы, а оператор разности фаз с одной стороны, имеет дискретный спектр, а с другой - имеет произвольную непрерывную аддитивную константу в спектре.
В общем, надеюсь, что я заинтриговал достаточно, что бы открыть обзор просмотреть его по диагонали и, при желании, обсудить проблему. Еще раз хочу сказать, что проблема на грани физики и математики, так что может кому из математиков и интересно будет потрепаться на эту тему. Кроме того, хочу покаятся. Я за этой темой последние лет десять не следил, так что может все уже решили, хотя, судя по тому, что про всякие сжатые состояния пишут - вряд ли.